Реферат: Разработка демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики 
5│ 0
переменного тока.
ш1.0
Таким образом имеем уравнение:
7ч 52 0E 4z
──── -
k 52 0E 4z 0=0 (1.4.26)
7ч 0x 52
где k 52 0=i 7mm 40 7ws
Решение этого уравнения хорошо известно[18]:
E(x) =
Ae 5ikx 0+Be 5-ikx 0 (1.4.27)
7|\ 0 1-i
7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0
7|\\\\
т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5
──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
7|\
|\ |\
7? 0 2 7 ?
02 7 0 7d 0 7 ? 02
из геометрии задачи видно , что
E 4z 0(x)=E 4z 0(-x) => A=B. Следова-
тельно решение уравнения можно записать в виде:
E(x) =
A{e 5ikx 0+e 5-ikx 0} (1.4.28)
Тогда общее решение можно записать в виде (
переобозначив не-
которые выражения: x/(2 51/2 7s 0)=y , а
7w 0t-k 4z 0z= 7a 0 ):
4i 7ф
E 4z 0=A{e 5y 0e 5iy 0+e 5-y 0e 5-iy 0}e
=A{e 5y 0(cosy+isiny)+e 5-y 0(cosy-isiny)}*
*{cos 7a 0+isin 7a 0}=A{(e 5y 0+e 5-y 0)cosy+i(e 5y 0-e 5-y 0)siny}{cos 7a 0+isin 7a 0}=
┌
=A│{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0-(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}+
└
┐
+i{(e 5y 0+e 5-y 0)cosycos 7a 0+(e 5y 0-e 5-y 0)sinysin 7a 0}│=
┘
A{(e 5y 0+e 5-y 0)cos 52 0y+(e 5y 0-e 5-y 0)sin 52 0y} 51/2 0{(cos 7f 0sin 7a 0-sin 7f 0cos 7a 0)+
- 29 -
+i(cos 7f 0sin 7a 0+sin 7f 0cos 7a 0)}
(1.4.29)
ш1.0
(e 5y 0-e 5-y 0)siny 5
0e 5y 0-e 5-y
где tg 7f 0=────────────── 5
0= 5 0────────
tgy
(e 5y 0+e 5-y 0)cosy 5
0e 5y 0+e 5-y
Тогда вправе переписать:
┌──────────────────────────────────────────────── 5─ 0────────┐
│
│
│
E 4z 0=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0{cos( 7a 0+ 7f 0)+isin( 7a 0+ 7f 0)}
(1.4.30) │
│
│
└─────────────────────────────────────────────────────────┘
ш2.0
Далее следует перейти к вещественной
форме решения , так как
только такие решения имеют физический смысл.
Приведенное выше
комплексное решение эквивалентно двум вещественным. Оба
решения
одинаковы, так как синус всегда можно преобразовать в
косинус ,
путем изменения начала отсчета времени. По этим же
соображениям
путем изменения начала системы отсчета всегда можно
положить z=0.
Окончательно получим:
ш1.0
┌──────────────────────────────────────────────────────────┐
│
E 4z 0(r,t)=A(e 52y 0+e 5-2y 0+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0)
(1.4.31) │
│
│
│
e 5y 0-e 5-y 0 x
7|\\\\ 0 │
│ 7f 0=arctg 5 0────────
tgy ; y=─────── ; 7
d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7w 0=2 7pn
0 │
│
e 5y 0+e 5-y 0
2 51/2 7d 0 │
└──────────────────────────────────────────────────────────┘
Т.е. решения аналогичны цилиндрическим.
Интересен предел высоких частот:
7w6$ 0; 7d6$ 0;y 76$
┌───────────────────────────────────┐
│ │
│
E 4z 0(x,t)=Ae 5y 0cos( 7w 0t+y) (1.4.32) │
│ │
└───────────────────────────────────┘
x
y= ───────
(1.4.33)
2 51/2 7d
- 30 -
Предел низких частот:
7w6 00; 7d6 00;y 76 00
ш1.0
┌─────────────────────────────────────────────────────┐
│
E 4z 0(r,t)=A(1+2y+1-2y+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0)
(1.4.34) │
│ │
│
│
│
1+y-1+y │
│ tg 7f 0=───────y=y 52 0
│
│ 1+y+1-y │
│
│
│
│
│
E 4z 0(r,t)=A(2+2cos2y) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0)
(1.4.35) │
│
│
│
│
│
E 4z 0(r,t)=A(2(1+cos2y)) 51/2 0cos( 7w 0t+y 52 0)
(1.4.36) │
│
│
│
│
│
E 4z 0(r,t)=A2│cosy│cos( 7w 0t+y 52 0)
(1.4.37) │
└─────────────────────────────────────────────────────┘
ш2.0
Важно заметить, что в формулах (1.3.31) и (1.3.44) существует
дополнительное фазовое слагаемое, роль которого хорошо
заметна
при сравнении рисунков 10 и 11.
Очевидно, что существует приповерхностный слой с
плотностью
тока противоположно направленной поверхностному току.
Для наблюдения этого эффекта нужно сравнить графики
в прог-
раммах skin.exe (с учетом фазового слагаемого) и
skin_1.exe (без
учета).
ш2.0
- 31 -
_ 2Глава 2
1" Математические методы исследования
процессов "
1_ 2.1 Типы задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (далее
ОДУ) широко
используются для математического моделирования процессов
и явле-
ний в различных областях науки и техники.
В дифференциальное уравнение n-го порядка в
качестве неиз-
вестных величин входят функция y(x) и ее первые n
производных по
аргументу x
7f 0(x,y,y',...y 5(n) 0)=0. (2.1.1)
Из теории ОДУ известно, что уравнение (2.1.1)
эквивалентно
системе n уравнений первого порядка
7f 4k 0(x,y 41 0,y' 41 0,y 42 0,y' 42 0,...,y 4n 0,y' 4n 0)=0,
(2.1.2)
где k=1,2,...,n.
Уравнение (2.1.1) и эквивалентная ему система
(2.1.2) имеют
бесконечное множество решений. Единственные решения
выделяют с
помощью дополнительных условий, которым должны
удовлетворять ис-
комые решения. В зависимости от вида таких условий
рассматривают-
ся три типа задач, для которых доказано существование
и единс-
твенность решений.
Первый тип - это задачи Коши, или задачи с начальными
услови-
- 32 -
ями. Для таких задач кроме исходного уравнения (2.1.1) в
некото-
рой точке x 40 0 должны быть заданы начальные
условия, т.е. значения
функции y(x) и ее производных
y(x 40 0)=y 40 0 ;
y'(x 40 0)=y 410 0,...,y 5(n-1) 0(x 40 0)=y 4n-1,0 0.
(2.1.3)
Для системы ОДУ типа (2.1.2) начальные условия задаются в
виде
y 41 0(x 40 0)=y 410 0 ;
y 42 0(x 40 0)=y 420 0,...,y 4n 0(x 40 0)=y 4n0 0.
(2.1.4)
Ко второму типу задач относятся так называемые
граничные, или
краевые задачи, в которых дополнительные условия
задаются в виде
функциональных соотношений между искомыми решениями.
Количество
условий должно совпадать с порядком n уравнения или
системы. Если
решение задачи определяется в интервале
x 7е 0[x 40 0,x 4k 0], то такие усло-
вия могут быть заданы как на границах, так и внутри
интервала.
Минимальный порядок ОДУ, для которого может быть
сформулирована
граничная задача, равен двум.
Третий тип задач для ОДУ - это задачи на
собственные значе-
ния. Такие задачи отличаются тем, что кроме искомых
функций y(x)
и их производных в уравнения входят дополнительно m
неизвестных
параметров 7
l 41 0, 7l 42 0, 7l 43 0,..., 7l 4m 0,
которые называются собственными зна-
чениями. Для единственности решения на интервале
[x 40 0,x 4k 0] необхо-
димо задать n + m граничных условий. В качестве
примера можно
назвать задачи определения собственных частот,
коэффициентов дис-
сипации, структуры электромагнитных полей и механических
напряже-
ний в колебательных системах, задачи нахождения фазовых
коэффици-
ентов, коэффициентов затухания, распределения
напряженностей по-
- 33 -
лей волновых процессов и т.д.
К численному решению ОДУ приходится обращаться, когда
не уда-
ется построить аналитическое решение задачи через
известные функ-
ции. Хотя для некоторых задач численные методы
оказываются более
эффективными даже при наличии аналитических решений [10].
Рассмотрим конкретные алгоритмы для каждого типа
задач.
ш2.0
- 34 -
1_ 2.2 0 1Задача Коши. (Метод
Рунге-Кутту 2-го порядка).
Систему ОДУ (2.1.2) часто удается представить в
каноническом
виде, в так называемой форме Коши
ш0.9
dy 4k 0(x)
────────
=
f 4k 0(x,y 41 0,y 42 0,...,y 4n 0),
(2.2.1)
dx
ш2.0
где k=1,2,...,n.
При формулировке задачи Коши система (2.2.1)
дополняется на-
чальными условиями (2.1.4). Для простоты рассмотрим
задачу Коши
для одного уравнения типа (2.2.1), а затем полученные
алгоритмы
обобщим на систему n уравнений
ш0.9
dy(x)
───────
= f(x,y), y(x 40 0)=y 40 0. (2.2.2)
dx
ш2.0
В окрестности точки x 40 0 функцию y(x)
разложим р ряд Тейлора
ш0.9
(x-x 40 0) 52
y(x)=y(x 40 0)+(x-x 40 0)y'(x 40 0)+─────────y''(x 40 0)+...,
(2.2.3)
2
ш2.0
который можно применить для приближенного определения
искомой
функции y(x). D njxrt x 40 0 + h при малых
значениях h можно ограни-
чится двумя членами ряда (2.2.3), тогда
y(x 40 0+h)=y 40 0+hy'(x 40 0)+O(h 52 0),
(2.2.4)
где O(h 52 0)-бесконечно малая величина
порядка h 52 0. Но такой метод
дает очень существенные погрешности.
Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ,
исполь-
зующего разложение искомого решения в ряд Тейлора
(2.2.3), необ-
- 35 -
ходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако
при этом
возникает необходимость аппроксимации производных от
правых час-
тей ОДУ. Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в
том, что
производные аппроксимируются через значения функции
f(x,y) в точ-
ках на интервале
[x 40 0,x 40 0+h], которые выбираются из условия наи-
большей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости
от стар-
шей степени h, с которой учитываются члены ряда,
построены вычис-
лительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности
[10].
Рассмотрим схемы второго порядка точности. Для этого
порядка
точности полечено однопараметрическое семейство схем
вида:
y(x 40 0+h)=y 40 0+h[(1- 7a 0)f 40 0+ 7a 0f(x 40 0+ 7g 0h,y 40 0+ 7g 0f 40 0h)]+O(h 53 0),
(2.2.5)
где 0 7 0< 7 a , 0 1 - свободный
параметр,
f=f(x,y), 7
g 0=(2 7a 0) 5-1 0.
Локальная погрешность схем (2.2.5) имеет 3-й
порядок, гло-
бальная 2-й; т.е. решение ОДУ полученное по этой схеме,
равномер-
но сходится к точному решению с погрешностью
O(h 52 0).
Для параметра 7 a 0 наиболее часто
используют значения 7 a 0=0,5 и
7a 0=1. В первом случае формула (2.2.5)
приобретает вид
y(x 40 0+h)=y 40 0+h[f 40 0+f(x 40 0+h,y 40 0+hf 40 0)]/2,
(2.2.6)
геометрическая интерпретация которой представлена на
рис. 7
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
|
