Реферат: Разработка демонстрационных программ для применения в процессе преподавания физики 
7ч 0z 7ч 0r 4
7ч 0t │ 7 ч 0z 7
ч 0r 7ч 0t
│
1 7ч 0(rE 7f 0)
7ч 0H 4z 0 │ 7 01
7ч 0(rH 7f 0) 7 0
7ч 0E 4z
- ──────=- 7mm 40 0───
(1.3.15) │ - ──────= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0───
(1.3.16)
r 7ч 0r
7ч 0t │ 7 0r
7ч 0r 7 0 7ч 0t
Очевидно , что эти 6 уравнений распадаются на 2
системы:
ш1.0
1 7 ч 0(rH 7f 0) 7 ч 0E 4z 0
7) 0 │ 1 7ч 0(rE 7f 0)
7ч 0H 4z 7 )
- ──────= 7s 0E 4z 0+ 7ee 40 0───
(а) 72 0 │ - ──────=- 7mm 40 0─── 7
2
r 7 0 7ч 0r 7
ч 0t 72 0 │ r 7ч 0r
7ч 0t 7 2
72 0 │ 7
2
7ч 0E 4r 0
7ч 0E 4z 0 7ч 0H 7f 0
72 0 │ 7ч 0H 4z 0 7
ч 0H 4z 0 7ч 0E 7f 2
─── - ───=- 7mm 40 0───
(б) 78 0(1)│ ─── - ───= 7s 0E 7f 0+ 7ee 40 0─── 7
8 0(2)
7ч 0z 7ч 0r 4
7ч 0t 72 0 │ 7ч 0z 7
ч 0r 7ч 0t 7 2
72 0 │ 7
2
7чHf 0 7 4
7ч 0Er 72 0 │
7ч 0E 4z 7 ч 0H 4r 7 2
- ───= 7s 0E 4r+ 7ee 40 0───
(в) 72 0 │ - ───
=- 7mm 40 0─── 7 2
7ч 0z 7 0 7
4 7ч 0t 70 0 │
7ч 0z 7 ч 0t 7 0
│
С компонентами
E 4z 0,H 7f 0,E 4r 0 эта сис-│С
компонентами H 4z 0,E 7f 0,H 4r 0 эта сис-
тема описывает скин-эффект. │тема описывает
вихревые токи.
ш2.0
Будем рассматривать только первую систему,
описывающую скин-
эффект.
Очевидно, что если в каком либо месте проводника
поле перио-
дически меняется во времени, то оно будет периодически
меняться и
во всех остальных точках проводника. При отыскании
периодических
решений системы (1) вместо синуса или косинуса удобно
пользовать-
ся комплексной показательной функцией, а затем с помощью
извест-
- 20 -
ной формулы Эйлера:
ш1.0
4i 7ф
e 4
= 0cos 7a 0+isin 7a 0; (1.3.17)
ш2.0
перейти к вещественной форме решения.
Кроме того отметим, что уравнения в системе (1)
линейны и од-
нородны и следовательно для них выполняется принцип
суперпозиции:
сумма произвольного числа решений уравнения сама является
решени-
ем того же уравнения.
Ищем решение системы (1) в виде:
ш1.0
i 7w 0t
7 ч )
E 4z 0=E 4z 0(r)e ──=i 7w
2
i 7w 0t 7 0=> 7 ч 0t 7
2 0 (1.3.18)
H 7f 0=H 7f 0(r)e 7 ┌ ч 2
i 7w 0t
=> ──=-ik 4z 7 2
E 4r 0=E 4r 0(r)e 7 ч 0z 7 0
Положим k 4z 0=0
так , как мы ищем колебательное решения , а не
волновое. Кроме того считаем , что 7 s >
e 40 7ew 0 поэтому 7 e 0=0.
Тогда:
│
ik 4z 0H 7f 0= 7s 0E 4r 0 =>
E 4r 0=0 (1.3.19) │
│
│
7s 0 7 ч 0E 4z
7ч 0E 4z 7я 0 │ H 7f 0 = ────────
───── (1.3.22)
─────
= i 7mm 40 7w 0H 7f 0 (1.3.20) │
i 7mm 40 7ws 0 7ч 0r
7ч 0r
│
│
7ч 0H 7f 0
1 │
─── + ─
H 7f 0 = 7 s 0E 4z 0 (1.2.21) │
7ч 0r
r
7ч 52 0E 4z 7ы 01
7ч 0E 4z
────
+ ─ ─── 4 0-
i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0 (1.3.23)
7ч 0r 52 0 r 7ч 0r
Рассмотрим 2 возможных
случая:
1) _Снаружи проводника . ( 7s 0=0)
- 21 -
ш1.0
┌ ┐
7ч 52 0E 4z 0 7
01 7 ч 0E 4z 0 1 7 ч 0 │
7ч 0E 4z 0 │ 7 ч 0E 4z
──── + ─ ───
= 0 => ─ ──│ r─── │ = 0
=> r─── = const 41
7ч 0r 52 7 0r 7
ч 0r r 7 ч 0r│ 7 0 7ч 0r │ 7
ч 0r
└
┘
7ч 0E 4z 0 const 41 7 ! 0
const 41
─── 4
0= ────── =>
E 4z 0= 72 0 ──────
dr (1.3.24)
7ч 0r 7к 0
r 7 1 0 r
E 4z 0=const 41 0ln(r)+const 42 0
(1.3.25)
ш2.0
Т.к. при r 76$ 0 поле не может бесконечно
возрастать => const 41 0=0,
следовательно E=const 42 0 т.е. не зависит от
пространственных коор-
динат вокруг проводника.
2) _ Внутри проводника
7ч 52 0E 4z 7ы 01 7ч 0E 4z
──── + ─
─── 4
0-i 7mm 40 7ws 0E 4z 0 = 0
(1.3.26)
7ч 0r 52 0 r
7ч 0r
Очевидны граничные условия:
ш1.0
I
E 4z 0│ =E 4z 0│
и H 7f 0│ =H 7f 0│ = ───
│r=R │r=R │r=R │r=R
2 7p 0R (1.3.27)
Таким образом мы получили уравнение:
7ч 52 0E 4z 7
01 7 ч 0E 4z
──── + ─
─── 4 0+ k 52 0E 4z 0 =
0 (1.3.28)
7ч 0r 52 7
0r 7 ч 0r
где
k 52 0=-i 7mm 40 7ws
7ы 0 ┌ 1 ┐ 7ч 0E 4z
H 7f 0=│
───── │ ───
(1.3.29)
└
i 7mm 40 7w 0 ┘ 7ч 0r
ш2.0
Это хорошо известное уравнение Бесселя решение
которого
записывается в виде комбинации функций Бесселя и
Неймана ( или
- 22 -
ш2.0
Вебера )[8,18]:
E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr)+BN 40 0(k 41 0r)
(1.3.30)
Однако N 40 0(x) 76$ 0при
x 76 00 , поэтому мы вынуждены отбросить это
решение и окончательно записать:
E 4z 0(r)=AJ 40 0(kr) (1.3.31)
Или общее решение:
ш1.0
i 7w 0t
E(r,z,t)=AJ(kr)e
(1.3.32)
7|\ 0 1-i
7|\\\\\ 0 1-i 1 1-i 7 0 7 0
7|\\\\
т.к. 7? 0-i=────;k= 7?mm 40 7ws 5
──── 0;k= ─ ────; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
7|\
|\ |\
7? 0 2 7 ?
02 7 0 7d 0 7 ? 02
ш2.0
7d 0 - глубина
проникновения.
Как известно , расчет значений функции Бесселя
комплексного
аргумента представляет собой достаточно сложную
вычислительную
задачу. Кроме того данное решение не обладает
достаточной сте-
пенью наглядности.
Вместе с тем хорошо известно , что уравнение вида:
ш1.0
7ч 52 0E 4z 7 01 7 ч 0E 4z
──── + ─
─── 4 0- i 7l 52 0E 4z 0
= 0 (1.3.33)
7ч 0r 52 7 0r 7 ч 0r
7l 52 0= 7mm 40 7ws 0
; 7 l 0=1/ 7d
ш2.0
имеет решение в виде комбинации функций Кельвина:
- 23 -
ш2.0
E 4z 0=A[ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)]+B[ker 40 0( 7l 0r)+kei 40 0( 7l 0r)]
(1.3.34)
Причем функции
ker 40 0( 7l 0r) и kei 40 0( 7l 0r) мы
должны отбросить по тем
же соображениям , что и функции Неймана в предыдущем
решении.
Это же легко подтвердить из следующих соображений:
ш0.9
7|\ 0
-i 7p 0/4
(1-i)/ 7? 02 7
0=e (1.3.35)
Тогда согласно [8] получим:
-i 7p 0/4
ber 40 0( 7l 0r)+ibei 40 0( 7l 0r)=I 40 0( 7l 0re
) (1.3.36)
ш2.0
Очевидно , что :
ber 40 0( 7l 0r)=Re{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)}
(1.3.37)
bei 40 0( 7l 0r)=Jm{I 40 0( 7l 0r(1-i)/2 51/2 0)}
(1.3.38)
Очевидно , что общее решение
будет иметь вид :
ш0.8
i 7w 0t
E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}e
(1.3.39)
ш1.0
Преобразуем последнее выражение :
E 4z 0(r,t,z)=A{ber 40 0(r/ 7d 0)+ibei 40 0(r/ 7d 0)}{cos( 7w 0t-k 4z 0z)+isin( 7w 0t)}=
┌
┐
=A│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)-ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│+
└
┘
┌
┐
+i│{ber 40 0(r/ 7d 0)cos( 7w 0t)+ibei 40 0(r/ 7d 0)sin( 7w 0t)}│=
└
┘
┌ 7
|\\\\\\\\\\
=A│((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 7
0cos( 7w 0t+ 7f 0)+
└
7|\\\\\\\\\\ 0 ┐
+i((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0
sin( 7w 0t+ 7f 0)│; (1.3.40)
┘
bei 40 0(r/ 7d 0)
где tg 7f 0=───────────
ber 40 0(r/ 7d 0)
7|\\\\\\\\\\
E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0{cos( 7w 0t+ 7f 0)+isin( 7w 0t+ 7f 0)}
(1.3.41)
- 24
-
ш2.0
Далее необходимо перейти к вещественной форме
решения , так
как только такие решения имеют физический смысл. Как было
показа-
но выше всякое комплексное решение эквивалентно двум
вещественным
решениям.
ш1.0
7|\\\\\\\\\\
E 4z1 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0cos( 7w 0t+ 7f 0)
(1.3.42)
7|\\\\\\\\\\
E 4z2 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+ 7? 0bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0sin( 7w 0t+ 7f 0)
(1.3.43)
7|\\\\
где 7 f 0 - определяется выше , а
7d 0=1/ 7?mm 40 7ws
ш2.0
Оба решения одинаковы так как от функции синуса
всегда можно
перейти к косинусу путем изменения начала отсчета
времени.
Окончательно получим :
ш1.0
┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│
│
│
E 4z 0=A((ber 40 0(r/ 7d 0)) 52 0+(bei 40 0(r/ 7d 0)) 52 0) 51/2 0cos( 7w 0t+ 7f 0)
(1.3.44) │
│
│
│
│
│
bei 40 0(r/ 7d 0) 7 0
7|\\\\ 0 │
│ где 7 f 0= arctg───────────
; 7d 0=1/ 7?mm 40 7ws 0 ; 7
w 0=2 7pn 0 │
│
ber 40 0(r/ 7d 0) │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
|
