Реферат: Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр)

11

Мы нашли, что , и мы нашли вид этого вектора в координатном представлении: .1) Векторы  могут быть выбраны сами в качестве базиса, в котором можно выражать все другие векторы, это называется импульсное представление.

Чтобы покончить совсем с оператором импульса и собственными значениями оператора импульса, окончательно оформим это так: оператор  действуя на вектор  даст: , при этом собственные значения оператора будут равняться , а вектор  изобразится так: .

6. Момент импульса (собственные векторы, собственные значения)

Мы разобрались с оператором координаты, с оператором импульса, с оператором энергии, есть ещё одна переменная – момент импульса. Вот разберёмся с моментом импульса.

Надеюсь, кто-нибудь из вас помнит ещё что это такое, а если не помнит, то я напишу: . Если частица в плоскости движется по окружности, то момент импульса это вектор  перпендикулярный плоскости орбиты частицы. Оператор момента импульса это будет произведение оператора координаты и оператора импульса: . Ещё можно ввести оператор . Мы имеем три проекции момента на координатные оси и оператор , который даёт полную величину момента. Непосредственным вычислением можно убедиться, что операторы  между собой не коммутируют, например , это математический факт, физически этому соответствует важное обстоятельство – проекции момента на координатные оси не могут быть заданы одновременно. Но легко убедиться, что  коммутирует с , а поскольку x ничем не лучше y, z, то это будет означать, что  коммутирует ,  коммутирует ,  коммутирует с , сами компоненты между собой не коммутируют, но каждая компонента коммутирует с абсолютным значением момента импульса. Это означает, что можно задать величину момента и проекцию его на одну из координатных осей, но только на одну. Обычно в качестве такой проекции выбирают ось z.

Мы можем задать длину вектора  и задать его проекцию на ось z, но проекции на оси x, y мы задать не можем, тогда мы имеем такую картину, что вектор  где-то лежит на конической поверхности, какое он там занимает место не определено, но проекция его на ось z вполне определённая.

Исходя только из коммутационных соотношений, можно найти собственные значения операторов  и .1) Собственные векторы и собственные значения будем нумеровать двумя числами – два числа j и m определяют вектор , и такой вектор является собственным вектором  и  (это возможно, потому что эти операторы коммутируют и у них общие собственные векторы).

При этом , а .

Ситуация такая: задаёте j из набора , теперь можете задать число из набора , тогда пара чисел (j, m) определяет вектор в абстрактном пространстве, который мы обозначаем , и этот вектор является собственным вектором оператора  вот с такими собственными значениями: , и оператора  с собственными значениями .

Мораль такая: квадрат момента квантуется и может принимать лишь значения , проекция момента на ось z может принимать значения кратные : .

Оказалось, что если j принимает целые значения , то это соответствует орбитальному моменту, т.е. когда частица движется в пространстве так, что.

7. Спин.

Опыт Штерна-Герлаха (1922г.)

Как фактически проявляется квантование момента импульса? Электрон вращающийся вокруг ядра, обладает орбитальным моментом . С точки зрения электродинамики электрон, вращающийся вокруг ядра это некоторый круговой ток, ему соответствует магнитный момент . А частица с магнитным моментом реагирует на магнитное поле. Потенциальная энергия частицы в магнитном поле равна , и на магнитный момент в магнитном поле действует сила равная .1) Пусть создаётся такое магнитное поле (см. рис.7.1). Теперь мы сюда запускаем пучок частиц, обладающих магнитными моментами. Когда частица залетает в магнитное поле, на неё действует сила по вертикали .2) Тогда, если влетает пучок частиц с хаотично ориентированными магнитными моментами, то на каждую из этих частиц будет действовать сила пропорциональная направлению магнитного момента на ось z. Каждая частица будет отклоняться пропорционально силе, т.е. пропорционально , и они размажутся в виде такого веера:

Это способ определить экспериментально проекцию магнитного момента, которая связана с орбитальным моментом: .

А теперь мы запускаем туда не макроскопические элементы, а запускаем пучок атомов, а атом тоже может обладать магнитным моментом за счёт того, что там электрон вращается. А когда мы пропускаем пучок атомов, то обнаруживается, что мы не получаем такого размазывания в виде веера этих траекторий, а будет наблюдаться такое (скажем, пучок может разделиться на три пучка):

Пучок атомов не размазывается, они расщепятся, а именно три чётких отдельных пучка появится. Как это проинтерпретируется? Это будет означать, что проекция магнитного момента на ось z принимает всего три значения, а число проекций 2j+1 = 3 и j = 1, мы тогда говорим так: эти атомы обладают орбитальным моментом , а при этом число проекций 3. Вот это квантование момента наблюдается экспериментально, когда пучок атомов расщепляется  определённое число пучков. Вот, целым j отвечают такие орбитальные моменты. Но оказалось, что есть ситуации, в которых пучок расщепляется на два пучка (рис.7.2. б). Это означает, что 2j+1 = 2 и . Эта ситуация, как выяснилось в конце концов, связана с тем, что электрон обладает собственным магнитным моментом, т.е. полуцелым значениям j не отвечают орбитальные моменты, значению  отвечает собственный момент импульса электрона и он называется спином.

Ситуация выглядит так, что электрону, точечному объекту, приписывается собственный момент импульса, ему же отвечает соответствующий момент, и собственный магнитный момент электрона  такой, что , а проекция магнитного момента принимает значения . Что здесь удивительного? Земля обладает орбитальным моментом импульса за счёт её вращения вокруг Солнца, это большая величина, кроме того, за счёт суточного вращения она обладает собственным моментом. Каждый элемент Земли движется по окружности и обладает собственным моментом импульса, вот сумма моментов импульса всех частей Земли с учётом её суточного вращения даёт собственный момент импульса, т.е. момент импульса в той системе, где центр масс Земли покоится), но он много меньше, чем орбитальный момент. Электрон, оказывается, обладает собственным моментом импульса той же величины, что и возможный орбитальный момент, а с другой стороны этот собственный момент импульса электрона нельзя приписать тому, что какие-то части электрона вращаются вокруг оси, т.е. мы не можем рассматривать электрон как, допустим, шар, обладающий моментом импульса за счёт вращения. Нет в электроне частей, это точечный объект, мы можем приписать некоторые размены, но он там вращается со сверхсветовыми скоростями, короче говоря, этот момент никак нельзя связать с орбитальным моментом частиц электрона, это некоторое врождённое свойство, не имеющее классического аналога. По отношению к магнитному полю электрон ведёт себя как маленький элементарный магнит, и вот величина его намагничивания это его врождённое свойство, кстати с этим врождённым свойством, связано, например то, что имеются постоянные магниты. Мамагниченность куска железа это следствие того, что электроны обладают собственными магнитными моментами и в железе они строятся так, что стремятся занять все одинаковую ориентацию, в результате суммарный магнитный момент отличен от нуля.

8. Средние значения динамических переменных

Мы уже видели, что теория отказывается предсказывать, что мы получим в результате измерения той или иной величины, она предсказывает лишь вероятности того, что будет получено то или иное значение. В связи вот с этим вероятностным характером возникает вопрос, каково среднее значение переменной? Ответ на это простой. Пусть мы имеет какую-то переменную A, и этой переменной соответствует оператор , тогда среднее значение переменной A в состоянии  (угловыми скобками будем обозначать) будет определяться так:

.

Откуда берётся такой результат? Пусть , т.е.  – собственные векторы оператора , а an – соответствующие собственные значения. Вектор  можно представить в виде разложения по собственным векторам оператора : . Тогда

=

а  – это вероятность получить при измерении переменной A в состоянии  значение an. Возможные значения умножаются на вероятность и суммируются по всем возможным значениям, а это то, что в математике называется математическое ожидание, это и есть среднее значение данной величины.

9. Изменение  со временем

Если состояние меняется со временем, это означает, что среднее значение тоже может меняться со временем. Напишем:

     (это уравнение движения, пятый постулат)

  (это сопряжённое уравнение)

И это изобразится, наконец, так:

12

Будем считать, что  , тогда .

Если , то .

В координатном представлении:

Связь с классической механикой

,             

Где классическая механика верна? Там, где можно пренебречь соотношениями неопределённостей!

( отлична от нуля в маленькой области)

10. Атом водорода. Частица в центрально симметричном поле

Пусть , т.е. поле обладает центральной симметрией, тогда . Гамильтониан в координатном представлении имеет вид . Пишем уравнение на собственные векторы:

В полярных координатах оператор Лапласа имеет вид

,

где  содержит слагаемые с производными по переменным  и .

Можно показать, что оператор квадрата импульса и гамильтониан коммутируют: . Физически это означает, что L2 сохраняется. И  тоже, значит операторы  имеют общие собственные векторы.

Положительно заряжённое ядро создаёт поле  или в более общем виде . Вектор , где , , , будет решением уравнения на собственные векторы гамильтониана, при чём

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13