Реферат: Владимира Иннокентьевича Бабецкого (3 семестр)

Мы уже сталкивались с такими вещами. Иксовая координата частицы и иксовая компонента импульса x и  не могут быть заданы одновременно: нельзя сказать, что частица имеет точно такую координату и имеет такую-то составляющую импульса, есть соотношение неопределённости. Это, кстати, означает, что операторы  и  не коммутируют.

Утверждение. Постулируется, что .1)

Но, кстати, например , это означает, что одновременно мы можем задать координату и игрековую составляющую импульса (или зетовую), а вот иксовую задать не можем, и измерить одновременно не можем. Это можно написать в более общем виде: .

Из того, что , следует, что спектр собственных значений оператора координаты  непрерывен. Иначе говоря, мы можем задать любое число q, и для него найдётся вектор , который является собственным вектором оператора . Физически это означает, что при измерении координат может быть получено любое число или, ещё проще говоря, координаты не квантуются.2)

Существует координатное представление, когда в качестве базисных векторов выбираются собственные векторы оператора координаты. Произвольный вектор может быть выражен в этом базисе. Если бы эти собственные векторы нумеровались каким-то дискретным параметром , то тогда произвольный вектор  представился бы суммой . Но у нас векторы нумеруются непрерывным параметром, это означает, что вместо суммы пишется интеграл: . Как находить коэффициенты разложения? В дискретном случае , а как быть, если параметр, нумерующий вектор, непрерывен? Аналогично: , базисные векторы таковы, что .

функция это функция, удовлетворяющая двум условиям:

1)

2)

функция проникла в математику именно в этой ситуации. Дирак, создатель квантовой теории, он эту функцию и изобрёл, потом в математике появилась целая теория этих функций.

В координатном представлении вектор состояния изобразится интегралом: , где функция  – это коэффициенты разложения вектора  по базису из собственных векторов оператора координаты, это то, что у нас называлось волновой функцией. Вот таким образом стыкуется то, что раньше говорилось о волновой функции, и её представление в абстрактном пространстве.

Раньше я говорил, что волновая функция  описывает состояние частицы с импульсом  и с энергией , где . Теперь мы можем изобразить вектор в абстрактном пространстве для этого состояния: . Вот наш вектор  выражен через базисные векторы, которые мы обозначаем .1)

А как быть с другими операторами? Пусть у нас для простоты , тогда . Кстати, что получится при действии оператора координаты  на этот вектор ? Здесь вы должны довериться просто формализму. Пишем: 2) =. Когда оператор  подействовал на вектор , мы получаем новый вектор с другими коэффициентами, и какие же это коэффициенты? А это та же функция , умноженная на x. Таким образом, в координатном представлении действие оператора  на функцию сводится просто к умножению этой функции на число, то есть мы можем написать, что в координатном представлении .

Как же импульс? Оператор  действует на вектор :

3)  =

Таким образом, в координатном представлении действие оператора  на функцию  приводит к взятию частной производной  и умножению её на число , или символически: . В векторной форме: .

И, наконец, последнее. Если мы имеем какую-то функцию координаты и импульса , тогда оператором  будет та же самая функция, но взятая от операторов  и : .

10

Ещё раз, как можно ткнуть пальцем и предъявить базисные векторы, если мы работаем в абстрактном пространстве? В качестве базиса выбираются собственные векторы какого-нибудь оператора. В таком базисе этот оператор выражается диагональной матрицей, где по диагонали стоят собственные значения, а собственные значения – это наблюдаемые величины, поэтому, если мы экспериментально определяем собственные значения оператора, то мы его матрицу тут же пишем. Операторы связаны между собой (по теории), тогда другие операторы можно находить через матрицу, которую мы нашли. Это общая программа. Теперь конкретное исполнение.

Рассматривалось специальное представление – в качестве базиса были выбраны собственные векторы оператора координаты (тогда собственные значения этого оператора это просто координаты частицы, которые мы экспериментально можем определять). Из постулируемого коммутационного соотношения  можно доказать, что собственные значения оператора координаты непрерывны. Оказывается, что в этом базисе оператор  принимает вид , а всякий вектор задаётся функцией, в частности . При этом , если , то , векторы ортогональны. Если функция  задаёт компоненты вектора  в координатном базисе, то функция  задаст компоненты вектора  в том же самом базисе, так как .

Мы уже получили два оператора, оператор координаты и оператор импульса. Как быть с остальными? Лекция была кончена утверждением, что если некоторая переменная A есть функция координаты и импульса , то оператор  будет функция от операторов  и : . Рецепт такой: если переменная имеет классический аналог и в классической механике выражается как функция импульса и координаты, то оператор этой переменной изобразится той же самой функцией, но от операторов.1)

А вот если переменная не имеет классического аналога, а в квантовой механике появились такие переменные (например, спин), вот там приходится оператор для переменной изобретать.

4. Оператор энергии

У нас был один из постулатов, что существует оператор , который называется гамильтонианом и который определяет динамику системы, то есть изменение вектора состояния  за единицу времени получается как результат действия оператора  на вектор состояния в данный момент времени:

Это аналог Второго закона Ньютона. Этот оператор  что такое?

Для частицы в потенциальном поле сил гамильтониан H – это полная энергия частицы, выраженная через координаты и импульс: . Тогда оператор  по нашему рецепту будет:

Задача на собственные векторы оператора энергии ставится так: оператор действует на вектор , даёт число , : . В координатном представлении векторы  задаются функциями : . Для частицы в связанном состоянии спектр собственных значений оператора энергии дискретен (энергия в этом случае квантуется), в несвязанном состоянии спектр собственных значений непрерывен (энергия не квантуется). То есть, если частица может уйти на бесконечность, то любое действительное число может представлять её энергию, а если не может уйти на бесконечность, то тогда энергия может принимать определённые значения. Как найти эти собственные значения и собственные векторы?

В координатном представлении оператор  изобразится так:

Тогда уравнение  на собственные значения перепишется в координатном представлении таким образом: . Сейчас мы его перепишем так: . Это уже знакомое уравнение, это уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это означает то, что мы с вами делали, мы решали задачу на собственные значения оператора энергии.

Для свободной частицы должно оказаться, что спектр собственных значений непрерывен, проверим. Для свободной частицы никакой потенциальной энергии нет: . Тогда задача на собственные векторы приводит к такому уравнению:  (я не пишу индексы, потому что на самом деле они и не появятся) или , обозначим , тогда легко убедиться, что функция  является решением этого уравнения.1)

Собственные значения нумеруются вектором , мы можем написать так: ,  или в координатном представлении . Мораль такая: задайте любой вектор , этому вектору будет отвечать функция  с таким собственным значением: . И, действительно, мы видим, что спектр собственных значений непрерывен, потому что вектор  любой.

5. Оператор импульса

Физическая проблема такая: энергия квантуется, координата, как мы видели, не квантуется, спрашивается, квантуется ли импульс (то есть в результате измерений может получаться любое число или какие-то дискретные величины)?1)

В координатном представлении оператор импульса есть: . Уравнение на собственные векторы выглядит так: , в координатном представлении вектор  задаётся некоторой функцией  и должен изобразиться так: , а уравнение на собственные векторы в координатном представлении сводится к такому , и в компонентах:  или . Поскольку  это функция от x только, то можно писать прямую производную:

Решение находится сразу: . Общий результат такой:

Это собственная функция оператора импульса, отвечающая собственному значению . Можно рассматривать это как наводящие соображения. Вернёмся к уравнению .

Утверждение. Функция  является решением этого уравнения.

Доказательство. Подставляя эту функцию в уравнение, мы получаем:

Функция  является собственной функцией оператора импульса, соответствующей собственному значению .

Отсюда видно, что собственным значением оператора импульса может быть любой вектор.

Если операторы двух переменных коммутируют, то эти переменные могут быть заданы и измерены одновременно, а операторы имеют одинаковые собственные векторы, ну и поэтому собственные значения могут быть заданы одновременно. То, что нельзя одновременно задавать координату и импульс, мы обсуждали, можно ли одновременно задать координату и энергию? Ответ зависит от того, коммутируют или нет операторы координаты и энергии. Ответ такой: оператор энергии , очевидно, что операторы и не коммутируют, потому что оператор  со вторым слагаемым прокоммутирует, а с первым нет (это следует из коммутационного соотношения). Это означает, что координату и энергию задать вместе нельзя никогда, то есть не может быть утверждений, что частица находится в некоторой точке пространства и имеет такую-то полную энергию (они не коммутируют). Другой вопрос: импульс и энергию задать можно или нет? Вроде бы ответ напрашивается, что в коммутационное соотношение координата и импульс входят симметрично, но  оператор энергии координата и импульс входят несимметрично, . Например, для свободной частицы, когда , оператор импульса с оператором энергии прокоммутирует. И, стало быть, импульс и энергия свободной частицы могут быть измерены одновременно. И действительно, это мы уже видели, а функция  является одновременно собственной функцией оператора импульса и энергии, собственные значения связаны так: , . Но если частица не свободна, то оператор импульса не коммутирует с оператором энергии.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13