Реферат: Лекции по физике

  Величины, не изменяющиеся при любых операциях симметрии прост-

ранства, являются его важнейшими характеристиками. Такие величины

называют инвариантными величинами, или просто инвариантами.

  В обычном трёхмерном пространстве основными величинами, инва-

риантными относительно выбора декартовых осей координат, являются

длина произвольного отрезка и угол между двумя произвольными отрез-

ками. Это самые важные количественные геометрические величины в на-

шем трёхмерном пространстве.

  Если имеем две точки М1 и М2 с координатами x1,y1,z1 и x2,y2,z2, в де-

картовой системе координат К , то квадрат длинны r отрезка между этими

точками даётся известным выражением

                           r2=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.

Это выражение инвариантно относительно выбора системы декартовых координат в пространстве. Если x1’ , y1’ , z1’ и x2’ , y2’ , x2’ обозначают

координаты взятых точек относительно другой  декартовой системы К’ ,

то имеем равенство

                        r’2 = (x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2=

                             = (x2 - x1 )2+(y2 -y1  )2+(z2 -z1  )2= r2,

причём штрихованные величины выражаются через нештрихованные с помощью формул преоброзования координат.

  Так, если система К’ получается из системы К поворотом на угол Ф,про-

изводимым по правому винту вокруг оси z,то указанные формулы преоб-

разования имеют вид:

                          x’ = x cos Ф - y sin Ф,

                          y’ = x cos Ф - y cos Ф,

                          z’ = z.

  В четырёхмерном мире тоже имеется геометрически естественная величина, подобная расстоянию между двумя точками. Это - “расстоя-

ние” двух “точек” в четырёхмерном мире. Пусть у нас имеется два мгно-

венных точечных события М1 и М2 с координатами x1, y1, z1, t1 и x2, y2,

z2, t2 отсчитанными относительно инерциальной системы отсчёта К и с

координатами x1’,y1’,z1’,t1’ и x2’,y2’,z2’, t2’ отсчитанными относительно

другой инерциальной системы отсчёта К’. Тогда относительно преобразо-ваний Лоренца, т.е. выбора системы отсчёта К и К’,инвариантна величина

квадрата так называемого четырёхмерного ,или релятивистского интер-

вала:

        s’2=(x2’-x1’)2+(y2’-y1’)2+(z2’-z1’)2-c2(t2’-t1’)2=

            =(x2  -x1  )2+(y2 -y1 )2+(z2 -z1 )2-c2(t2 -t1  )2= s2

В частности, легко убедиться непосредственно, что эта величина действи-

тельно инвариантна относительно тех преобразований Лоренца, которые

мы рассматривали выше:

                      x - vt                                         t - xv/c2

           x’=                     , y’=y,  z’=z,  t’=

                      1-v2/c 2                                      1-v2/c2

Действительно,

                                                                     1

                s’2=(x2’-x1’)2-c2(t2’-t1’)2=  *

                                                               1 - v2/c2

*{(x2-vt2-x1-vt1)2 - c2 (t2-x2 v/c2-t1-x1v/c)2} =

         1

=                   {(x2-x1)2 - 2v(x2-x1)(t2-t1)+v2(t2-t1)2}-

     1-v2/c2

         1

-                 {-c2(t2-t1)2+2v(x2-x1)(t2-t1)-v2/c2 (x2-x1)2}=

    1-v2/c2

=(x2-x1)2 - c2(t2-t1)2=s2

  Как мы уже сказали, релятивистский интервал, вернее его квадрат s2

играет роль квадрата “расстояния” между двумя “точками” в четырех-

мерном пространстве.

  В отличие от квадрата расстояния между двумя точками в обычном

трехмерном пространстве, который всегда положителен при несовпа-

дающих точках и равен нулю при совпадающих точках, квадрат реляти-

вистского интервала может быть как положительным, так и отрицательным. В четырехмерном мире имеются пары несовпадаю-

щих точек, “расстояния” между которыми  равно нулю. Например,

рассмотрим геометрическое место точек, лежащих на плоскости

xt, от начала координат на нулевое “расстояние”. Для них имеем усло-

вие                                         x2-c2t2= 0,

или

                                          (x-ct)(x+ct)=0.

Следовательно,искомым геометрическим местом нескольких точек бу-

дут две прямые, симметрично расположенные относительно оси вре-мени.                                       t

                         x=-ct                                      x=ct

                                                                           x

                                               0

 В четырехмерном мире, или в прстранстве - времени множество точек,

удаленных от начала координат на нулевое “расстояние”, образуют конус, осью которого является ось времен. Конус называется световым.

Точки, расположенные внутри светового конуса, имеют отрицательные

квадраты релятивистского интервала до начала координат.

Точки, расположенные вне светового конуса,имеют положительные

квадраты релятивистского интервала до начала координат.

   Множество точек, для которых квадрат интервала s2 от начала коорди-

нат 0 положителен и постоянен, образует однополостный гиперболоид,

окружающий световой конус.

                                t

                                                               x                                                                      x

    y                                                                 z

       z                                                                  y

   Рассматриваемое нами преобразование Лоренца- простейшее; оно

затрагивает только две координаты, а именно x и t в четырехмерном

мире. Это преобразование можно рассматривать как некоторый “по-

ворот”,  который называется “гиперболическим”, в плоскости xt.

   Поясним, что мы имеем в виду. Вместо временной координаты t

в четырехмерном мире введем мнимую временную координату x4=ict.

Тогда преобразования Лоренца можно записать с помощью следующих

формул:

                   1                          v/c

x1’ =                      x1 + i                         x4 ,

              1- v2/c2                                 1-v2/c2

                        v/c                               1

      x1’ =  i                          x1 +                       x4

                        1-v2/c2                                 1-v2/c2

          x2’ = x2,    x3’=x3

Здесь x1º x, x2ºy, x3º z. Эти формулы можно сравнить с формулами обычного поворота в влоскости x0 , x1 на угол j , которые имеют

вид

При таком, сравнении получим, что

Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол , для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,

Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы

Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,

Как видим, значение мнимого угла , определяется значением отношения скоростей . Введем теперь действительную временную координату , для которой   , или  

Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид

Это формулы так называемого гиперболического поворота- Поясним геометрию такого поворота. Рассмотрим плоскость ,  где

 Тогда имеем формулы преобразования

4.1.5. Релятивистская механика материальной точки

Приняв гипотезу о едином четырехмерном пространстве-времени, или четырехмерном мире, мы должны пересмотреть классическую механику Ньютона, исправить ее, сделав инвариантной не относительно преобразований Галилея, а относительно преобразований Лоренца. Такую программу пересмотра динамики материальной точки в классической механике выполнил Минковский, создавший релятивистскую динамику материальной точки.

Чтобы перейти в обычном трехмерном пространстве к геометрически естественным величинам (не зависящим от выбора системы декартовых координат, как координаты точки или компоненты вектора), вводят понятия трехмерных векторов а, b и т.д. и операции над этими векторами, в частности длина вектора а равна  и косинус угла  между векторами а и b равен ,где - скалярное произведение векторов а в b. В частности, квадрат длины радиус-вектора г точки М с координатами x,y,z , в некоторой декартовой системе координат, который имеет декартовы компоненты г(x, у, z), равен

В четырехмерном мире для мгновенного точечного события М с координатами x,y,z,t в некоторой инерциальной системе отсчета можно ввести "4-радиус-вектор" c компонентами   причем квадрат длины этого вектора равен

Мгновенной скорость материальной точки  не является лоренц-инвариантной величиной, поэтому Минковский вместо нее в

четырехмерном мире ввел релятивистски инвариантную "4-скорость", которая имеет компоненты

- интервал так называемого собственного времени материальной точки, связанный с ds - релятивистским интервалом между двумя близкими мгновенными точечными событиями, характеризующими два бесконечно близких состояния движения движущейся точки

 и соотношением  , т.е.

где v - обычная мгновенная скорость материальной точки. Так что

Аналогичным образом релятивистски инвариантное "4-ускорение " Минковский определил следующим образом:

Основные уравнения релятивистской динамики материальной точки в релятивистской механике Минковский записал следующим образом:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21