Основы геодезических измерений
№ измерения
|
Результаты
измерений, l
|
Погрешности
∆ = l-X
|
∆2
|
1
|
39˚17.4'
|
+0.7'
|
0.49
|
2
|
16.8
|
+0.1
|
0.01
|
3
|
16.6
|
-0.1
|
0.01
|
4
|
16.2
|
-0.5
|
0.25
|
5
|
15.5
|
-1.2
|
1.44
|
6
|
15.8
|
-0.9
|
0.81
|
7
|
16.3
|
-0.4
|
0.16
|
8
|
16.2
|
-0.5
|
0.25
|
Сумма
|
|
|
3.42
|
39˚16'42" = 39˚16.7'
Средняя квадратическая погрешность: m = √([∆2]/n),
m = √(3.42/8) = 0.65'.
Оценка надёжности СКП: mm = m / √2n,
mm = 0.65 / √16=0.1625≈0.16'.
Предельная погрешность: ∆пр
= 3×m,
∆пр = 3×0.65'
= 1.96'
Контрольная задача 2
Дана совокупность невязок треугольников
триангуляции объёмом 50 единиц. Считая невязки истинными погрешностями,
вычислить среднюю квадратическую погрешность и произвести надёжность СКП,
вычислить предельную погрешность. На данной совокупности проверить свойство
случайных погрешностей:
Lim[∆] / n =0, для чего вычислить W = [W] / n.
N
|
W
|
N
|
W
|
N
|
W
|
N
|
W
|
N
|
W
|
1
|
+1,02
|
11
|
-1,72
|
21
|
-0,90
|
31
|
+2,80
|
41
|
-0,44
|
2
|
+0,41
|
12
|
+1,29
|
22
|
+1,22
|
32
|
-0,81
|
42
|
-0,28
|
3
|
+0,02
|
13
|
-1,81
|
23
|
-1,84
|
33
|
+1,04
|
43
|
-0,75
|
4
|
-1,88
|
14
|
-0,08
|
24
|
-0,44
|
34
|
+0,42
|
44
|
-0,80
|
5
|
-1,44
|
15
|
-0,50
|
25
|
+0,18
|
35
|
+0,68
|
45
|
-0,95
|
6
|
-0,25
|
16
|
-1,89
|
26
|
-0,08
|
36
|
+0,55
|
46
|
-0,58
|
7
|
+0,12
|
17
|
+0,72
|
27
|
-1,11
|
37
|
+0,22
|
47
|
+1,60
|
8
|
+0,22
|
18
|
+0,24
|
28
|
+2,51
|
38
|
+1,67
|
48
|
+1,85
|
9
|
-1,05
|
19
|
-0,13
|
29
|
-1,16
|
39
|
+0,11
|
49
|
+2,22
|
10
|
+0,56
|
20
|
+0,59
|
30
|
+1,65
|
40
|
+2,08
|
50
|
-2,59
|
Решение:
W = [W] / n, W =
+2,51 / 50 = 0,05
Среднюю квадратическую погрешность в
данном случае целесообразно вычислять по формуле: m = √( [W2] – [W]2/n ) ÷ (n-1),
m = √( 76,5703 – (2,512)/50)
÷ 49 = 1,249
Оценку надёжности СКП по формуле: mm = m / √2(n-1),
mm = 1,249/ √(2×49) = 0,13.
Предельная погрешность по формуле: ∆пр
= 3×m,
∆пр = 3×1,249=
3,747.
Контрольная
задача 5
Определить
СКП расстояния вычисленного по формуле
S = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
если x2 = 6 068 740 м; y2
= 431 295 м;
x1 = 6 068 500 м; y2 = 431 248 м;
mх = my = 0,1 м.
Решение:
S =√(6 068 740 - 6 068 500 )2 + (431 295 - 431 248)2 =235,36
mm = 0,1/ √4 = 0,05
Контрольная
задача 6
Один и тот же угол измерен 5 раз с
результатами: 60˚41';
60˚40'; 60˚40'; 60˚42'; 60˚41'. Произвести математическую
обработку этого ряда результатов измерений.
Решение:
Nп/п
|
l,
˚
|
ε,
'
|
v, '
|
v2, '
|
1
|
60˚41'
|
1
|
-0,2
|
0,04
|
2
|
60˚40'
|
0
|
+0,8
|
0,64
|
3
|
60˚40'
|
0
|
+0,8
|
0,64
|
4
|
60˚42'
|
2
|
-1,2
|
1,44
|
5
|
60˚41'
|
1
|
-0,2
|
0,04
|
Сумма
|
|
4
|
0
|
2,8
|
l0 – минимальное значение измеряемой
величины, l0 = 60˚40' ; ε
– остаток, полученный как ε
= l1 - l0 ; L – наилучшее значение измеряемой величины,
L = [l]/n; m = √([ v2]/(n – 1), где v-уклонение
от арифметического среднего. М – оценка точности среднего арифметического
значения, М = m/√n.
L = 60˚40' + 4/5 = 60˚40,8'
m = √2,8 / 4 = 0,7'
М = 0,7'/√5 = 0,313'
Контрольная задача 7
Произвести математическую обработку
результатов измерения планиметром площади одного и того же контура: 26,31;
26,28; 26,32; 26,26; 26,31 га.
Решение:
Nп/п
|
l, га
|
ε, га
|
v,
га
|
v2, га
|
1
|
26,31
|
0,05
|
-0,014
|
0,000196
|
2
|
26,28
|
0,02
|
+0,016
|
0,000256
|
3
|
26,32
|
0,06
|
-0,024
|
0,000576
|
4
|
26,26
|
0
|
0,036
|
0,001296
|
5
|
26,31
|
0,05
|
-0,014
|
0,000576
|
Сумма
|
|
0,18
|
0
|
0,0029
|
l0 = 26,26
L = 26,26 + 0,18/5 = 26,296 га
m = √0,0029/ 4 = 0,0269 га
М = 0,0269/√5 = 0,01204 га
Контрольная задача 8
При исследовании сантиметровых
делений нивелирной рейки с помощью женевской линейки определялась температура в
момент взятия отчета. Для пяти сантиметровых отрезков получены значения: 20,3˚; 19,9˚; 20,1˚;
20,2˚; 20,3˚. Провести математическую обработку результатов
измерения.
Решение:
Nп/п
|
l, ˚
|
ε, ˚
|
v, ˚
|
v2, ˚
|
1
|
20,3
|
0,4
|
-0,14
|
0,0196
|
2
|
19,9
|
0
|
-0,26
|
0,0676
|
3
|
20,1
|
0,2
|
-0,06
|
0,0036
|
4
|
20,2
|
0,3
|
0,04
|
0,0024
|
5
|
20,3
|
0,4
|
0,14
|
0,0196
|
Сумма
|
|
1,3
|
0
|
0,1128
|
l0 = 19,9
L = 19,9 + 1,3/5 = 20,16˚
m = √0,1128/ 4 = 0,168˚
М = 0,168/√5 = 0,075˚
3.3
Веса измерений
Вес измерения – это отвлеченное число, обратно пропорциональное
квадрату СКП результата измерения.
Формула веса:
P = К / m2,
где P – вес результата измерения,
К – произвольное постоянное число для
данного ряда измерений,
m – СКП результата измерения.
Из формулы видно, что чем меньше СКП
измерения, тем оно точнее и его вес больше.
Отношение весов двух измерений
обратнопропорционально квадратам СКП этих измерений, т.е.:
P1 / P2 = m22
/ m12
Если имеется ряд измерений l1, l2, …, ln, то очевидно, что вес одного
измерения будет меньше веса среднего арифметического этих значений, т.е.:
Pm < PM,
где m – погрешность одного измерения,
M – погрешность среднего
арифметического значения.
Тогда отношение весов
обратнопропорционально отношению квадратов СКП:
PM/Pm = m2/M2;M = m/√n;
PM/Pm = m2/ (m/√n) 2 = m2/ (m2/n) = m2×n/m2 = n.
Таким образом, вес среднего
арифметического значения больше отдельно взятого значения в n раз. Следовательно, вес
арифметической середины равен числу измерений, из которых она составлена.
Общая арифметическая середина из
неравноточных измерений равна дроби, в числителе которой – сумма произведений
средних арифметических значений из результатов измерений на их веса, а
знаменатель – сумма всех весов измерений. Следовательно, вес общей
арифметической середины равен сумме весов неравноточных измерений:
A0 = (a1P1
+ a2P2 + … + anPn) / (P1
+ P2 + … +Pn),
где A0 – общая арифметическая середина,
ai – результат отдельно взятого
измерения,
Pi – вес отдельно взятого измерения.
СКП любого результата измерения равна
погрешности измерения с весом 1, делимой на корень квадратный из веса этого
результата, т.е.:
m = M/√P,
где m – СКП любого результата измерения;
M – погрешность измерения с весом 1;
P – вес данного результата измерения.
СКП измерения с весом 1 равна корню
квадратному из дроби, в числителе которой – сумма произведений квадратов
абсолютных погрешностей неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе –
число неравноточных измерений.
M = √ (∑∆2P/n),
где ∆ - абсолютная погрешность
неравноточного измерения;
P –его вес;
n – число измерений.
Контрольная задача 9
Результатам измерения углов
соответствуют m1 = 0,5; m2 = 0,7; m3 = 1,0. Вычислить веса результатов измерений.
Решение:
P = К / m2;
P1 = 1 / (0,5)2 = 4;
P1 = 1 / (0,7)2 = 2,04;
P1 = 1 / (1,0)2 = 1.
Ответ: 4; 2,04; 1.
Контрольная
задача 11
Найти вес невязки в сумме углов
треугольника, если все углы измерены равноточно.
Решение:
m = √[V2] / (n-1), n = 3
P = К / m2
m = √[ V21 + V22+ V23]/(3 – 1) = √[ V21 + V22+ V23]/2
P = К / √[ V21 + V22+ V23]/2 = 2 К / √[ V21 + V22+ V23] = 2/ ∑ V2i
3.4
Функции по результатам измерений и оценка их точности
В практике геодезических работ
искомые величины часто получают в результате вычислений, как функцию измеренных
величин. Полученные при этом величины (результаты) будут содержать погрешности,
которые зависят от вида функции и от погрешности аргументов по которым их
вычисляют.
При многократном измерении одной и
той же величины получим ряд аналогичных соотношений:
∆U1 = k∆l1
∆U2 = k∆l2
…………..
∆Un = k∆ln
Возведём в квадрат обе части всех
равенств и сумму разделим на n:
(∆U12
+ ∆U22 + … + ∆Un2) / n = k2×(∆l12
+ ∆l22 + ... + ∆ln2) / n;
∑∆U2 / n = k2×(∑∆l2 / n);
m = √(∑∆U2 / n);
m2 = k2 × ml2,
где ml – СКП дальномерного отсчёта.
m = k × ml.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
|
|