Реферат: Моделирование процессов переработки пластмасс 
3. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО
ПРОЦЕССА.
Разработанные методы анализа
термодинамики процессов переработки полимеров позволяют устанавливать связь
между основными технологическими
параметрами (давление, плотность, температура) с достаточно высокой степенью
точности. В настоящее время разработан весьма надежный математический аппарат,
позволивший обобщить огромный
экспериментальный материал.
Математические модели процессов
теплопередачи базируются на математическом
аппарате, разработанном в классических исследованиях теплопроводности в твердых телах. Общим недостатком известных решений является допущение о
независимости теплофизических
характеристик от температуры. Хорошо известно, что все термодинамические
функции и теплофизические характеристики полимеров
существенно зависят от температуры и давления. Поэтому при построении моделей реальных процессов следует обращать особое внимание на правильный выбор средних
значений соответствующих
характеристик.
 3.2.
Вывод дифференциального уравнения теплопроводности.
Для решения задач связанных с
нахождением температурного поля необходимо иметь дифференциальное уравнение
теплопроводности. Под дифференциальным уравнением понимают математическую зависимость
между физическими величинами характеризующими изучаемое явление, причем эти
физические величины являются функциями пространства и времени. Такое уравнение
характеризует протекание физического явления в любой точке тела в любой момент
времени.
Дифференциальное уравнение
теплопроводности дает зависимость между температурой, временем и координатами
элементарного объема.
Вывод дифференциального уравнения
сделаем упрощенным методом. Предположим, что имеется одномерное температурное
поле (тепло распространяется в одном направлении, например в направлении оси
х ). Термические коэффициенты считаем не зависимыми от координат и времени.
Выделим в однородной и изотропной
неограниченной пластине элементарный параллелепипед, объем которого равен  (рис.
3.1) Количество тепла, втекающего через левую грань  в
параллелепипед в единицу времени, равно  а количество тепла, вытекающего через противоположную грань
в единицу
времени, равно 
Рис 1.3. Поток тепла через
элементарный объём
Если  ,
то элементарный параллелепипед будет нагреваться, тогда разница между этими
потоками тепла по закону сохранения энергии равна теплу, аккумулированному
данным элементарным параллелепипедом, т. е.
 (3.1)
Величина  есть неизвестная функция х.
Если ее разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то
можно написать:
 (3.2)
Тогда из равенства (3.1) будем
иметь:
 (3.3)
Применяя уравнение
теплопроводности  , получим:
 (3.4)
Уравнение (3.5) есть
дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока тепла. Если тепло распространяется по нормали к изотермическим поверхностям, то вектор q можно
разложить на три составляющие по координатным осям. Количество
аккумулированного элементарным
объемом тепла будет равно сумме
 (3.5)
Тогда
дифференциальное уравнение примет вид
 (3.6)
Для симметричного одномерного температурного
поля  является функцией одной
координаты. Поясним это на примере бесконечного круглого цилиндра. Если ось
такого цилиндра совпадает с координатой z, то
температура в любой точке цилиндра будет зависеть только от координат х и
у. При равномерном охлаждении или нагревании цилиндра в любой точке,
отстоящей на расстоянии r от
оси цилиндра, температура в данный момент времени будет одна и та же.
Следовательно, изотермические поверхности будут представлять собой цилиндрические
поверхности, коаксиально расположенные к поверхности цилиндра. Между
радиальной координатой r (радиус-вектор) и координатами
х и у существует связь
r2 = х2 +
у2. (3.7)
Тогда дифференциальное уравнение
теплопроводности для бесконечного цилиндра можно преобразовать так:
 (3.8)
для бесконечного цилиндра можно
преобразовать так:
 (3.9)
 (3.10)
Дифференцируя (3.8) по х, а
(3.10) по у, получаем
 (3.11)
 (3.12)
Складывая
уравнения (3.11) и (3.12) и принимая во внимание (3.7), получим для уравнения
теплопроводности следующее выражение:
В общем случае, когда температура зависит от всех трех
координат (х, у, г), дифференциальное уравнение теплопроводности
конечного цилиндра имеет вид
 ; (3.13)
 4
СОСТАВЛЕНИЕ АЛГОРИТМА
Для решения дифференциального уравнения
теплопроводности бесконечного цилиндра воспользуемся методом сеток, суть
которого заключается в разбиении координатной плоскости на равные части и
вычислении значения искомой функции в узлах образуемой сетки. Используя
значения функции в крайних точках можно последовательно вычислить её значение в
любой части координатной плоскости.
 ;
(4.1)
Заменим частный дифференциал разностным отношением:
 ; (4.2)
Осуществим следующее преобразование функции:
 ;
(4.3)
 ; (4.4)
 ;
(4.5)  (4.6)
 ; (4.7)
 ; (4.8)
Подготовим уравнение (4.8) для
рекуррентного вычисления в MatLab V6.0
Произведём переобозначения:
 ; (4.9)
 ; (4.10)
 ; (4.11)
 ; (4.12)
 ; (4.13)
Имеем формулу:
T(i+1,j+1)=T(i,j+1)+(a*dt/dr)*(((T(i,j+2)-2*T(i,j+1)+T(i,j))/dr)+((1/r)*(T(i,j+2)-T(i,j+1))));
(4.14)
В
результате последовательных вычислений можно получить массив T характеризующий температурное поле неограниченного цилиндра
в любой момент времени.
1.Программа начинается c задание переменных: начального и конечного
момента времени, числа дискретных отсчётов по времени, радиус цилиндра и
число его разбиений, констант характеризующих тепло-физические свойства
полимера.
2.Следующим этапом является
вычисление шага аргументов, по которым будет вычисляться исходная функция.
3.Краевые условия: значения
искомой функции в начальный момент времени t0 = 0 в
зависимости от радиуса, и температуры стенки литникового канала в любой момент
времени задаются циклом For.
4.Каждому элементу вектора
характеризующего температурное поле в начальный момент времени присваивается
значение температуры, вычисленное как значение функции распределения вложенной
в цикл. Число циклов присвоения значений вектору увеличивают на два так-так его
элементов на один должно быть больше чем число интервалов разбиений и на одно
значение больше, чтобы было возможным вычисление значения массива в центре
цилиндра после перехода от внутреннего цикла к внешнему.
5.Каждому элементу вектора
характеризующего температуру стенки канала в любой момент времени присваивается
постоянное значение температуры Число циклов присвоения значений вектору
увеличивают на один, так-так его элементов на один должно быть больше чем число
интервалов разбиений.
6.Для вычисления матрицы
определяющей температуру цилиндра по радиусу в любой момент времени используем
два вложенных цикла For. Во внутреннем цикле
предусмотрено изменение радиуса цилиндра, и вычисление температурного поля в
заданный момент времени.
7.При переходе к внешнему циклу
отсчёт по времени увеличивается на единицу. Значение производной температуры по
радиусу в любой момент времени равно нулю и поэтому, чтобы учесть ещё одно
краевое условие при переходе от внешнего цикла к внутреннему значение последней
температуры копируется два раза.
8.После получения матрицы
температур надо построить график. Чтобы координатные оси были проградуированные
удобно для использования в матрице температур переставляют столбцы.
Осуществляется это с использованием двух вложенных циклов.
9.Далее следует вывод графика и
градуировка его осей.
 5
СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ
Программа для MatLab v6.0 R12
начинается очищения переменных графических окон функций и окна вывода
результата. Осуществляют это с помощью: clear, clc, clf, clg
Чтобы программа была легка в
использовании и проста в конфигурировании под любые задачи разработаем её
используя понятные обозначения:
Задаём переменные:
начальный момент времени выбираем
как t0=0;
конечный момент времени tk=120;
число дискретных отсчётов времени
nt=120;
температура стенки Tc=30;
максимальная температура
материала в середине цилиндра Tpol=170;
число дискретных отсчетов длинны
цилиндра nR=10;
радиус цилиндра R=0.01
м;
температуропроводность
полистирола a = 0.00000056 град/м с
Рассчитаем интервалы изменения температуры
и радиуса
dr=R/(nR-1);
dt=(tk-t0)/(nt-1);
Присвоим начальные значения
температуры стенки в цикле For:
for i=1:nt+1
T(i,1)=Tc;
end
Присвоим начальные значения
температурного поля полимера в цикле:
for j=1:nR+2
T(1,j)=Tpol*exp(-2000*(R-dr*(j-1))^2);
end
Рассчитаем матрицу температурного поля T во вложенном цикле For:
for i=1:nt
for j=1:nR
r=R-dr*(j-1)+0.0001*dr;
T(i+1,j+1)=T(i,j+1)+(a*dt/dr)*(((T(i,j+2)-2*T(i,j+1)+T(i,j))/dr)+((1/r)*(T(i,j+2)-T(i,j+1))));
end
T(i+1,nR+1)=T(i+1,nR);
T(i+1,nR+2)=T(i+1,nR);
end
Изменим порядок
расположения столбцов обработав массив в двойном цикле For
:
for i=1:nt
for j=1:nR
TT(i,j)=T(i,nR-j+1);
end
end
Построим поверхность описывающую полученную
функциональную зависимость T(t,r):
figure(1)
mesh(TT)
Подпишем координатные оси
xlabel('R, MM')
ylabel('t, cek')
zlabel('T C')
 6
АНАЛИЗ МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАСЧЁТОВ
В результате численного решения дифференциального
уравнения с помощью составленной программы получены данные, хорошо
согласующиеся с аналитическим решением дифференциального уравнения приведенным
во второй главе данной пояснительной записки.
Результаты получаемые с помощью данной
программы можно использовать для моделирований реальных технологических процессов
связанных с охлаждением и нагреванием цилиндрических каналов.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лыков А.
В. Теория теплопроводности. М., ГИТТЛ, 1952. 391 с.
2. Карслоу
Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М., «Наука», 1964. 487
с.
3. Кирпичев
М. В., Михеев М. А. Моделирование тепловых устройств. М.,изд-во
АН СССР, 1936. 255 с.
4. Тябин Н.
В. и др. В кн.: Теплообмен. 1974. Советские исследования. М., «Наука», 1975, с.
195—198.
5. Торнер «Технология
переработки пластмасс», Москва, Московский политехи, ин-т, 1965, № 1, с.
138—143.
ПРИЛОЖЕНИЕ1
 clear, clc, clf, clg
t0=0;
tk=120;
nt=120;
Tc=30;
Tpol=170;
nR=10;
R=0.01;
dr=R/(nR-1);
dt=(tk-t0)/(nt-1);
a=0.00000056;
for
i=1:nt+1
T(i,1)=Tc;
end
for
j=1:nR+2
T(1,j)=Tpol*exp(-2000*(R-dr*(j-1))^2);
end
for
i=1:nt
for j=1:nR
r=R-dr*(j-1)+0.0001*dr;
T(i+1,j+1)=T(i,j+1)+(a*dt/dr)*(((T(i,j+2)-2*T(i,j+1)+T(i,j))/dr)+((1/r)*(T(i,j+2)-T(i,j+1))));
end
T(i+1,nR+1)=T(i+1,nR);
T(i+1,nR+2)=T(i+1,nR);
end
for
i=1:nt
for j=1:nR
TT(i,j)=T(i,nR-j+1);
end
end
figure(1)
mesh(TT)
xlabel('R,
MM')
ylabel('t,
cek')
zlabel('T
C') 
ПРИЛОЖЕНИЕ2
|
