Реферат: Моделирование процессов переработки пластмасс

Рис. 2.4   Номограмма   для определения  безразмерной температуры в середине неограниченной пластины

2.2.2 Неограниченный цилиндр.

Рас­смотрим неограниченный цилиндр радиуса R, температура поверх­ности которого остается неизмен­ной на протяжении всего процес­са теплообмена. Радиальное рас­пределение температур в началь­ный момент задано в виде некоторой функции Т(r). Необходимо найти распределение температур определения в цилиндре в  любой   момент  времени. Задачи такого типа встречаются при расчете процессов охлаждения полимерного волокна, затвердевания литников литьевых форм и т. п.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра

имеет вид:                                                                        (2.19)

Краевые условия:       

Решение, полученное методом разделения переменных, в без­размерной форме, имеет вид:

         (2.20)

Для оценки изменения теплосодержания цилиндра определим среднюю температуру как:

                                                                                            (2.21)

Тогда безразмерная средняя температура определится соотноше­нием:                                                        (2.22)

где ;  - корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка определяемые выражением:

                                                        (2.23)

Таким образом, уменьшение средней температуры описывается простым экспоненциальным законом. Для удобства прикидочных расчетов на рис. IV. 10 приведена номограмма зависимости между q и Fo.

Рис. 2.5 Номограмма для определения зависимости   между  безразмерной средней избы­точной температурой и критерием Фурье в случае неограниченного цилиндра.

2.3. Теплопроводность    в    процессах,    сопровождающихся изменением физического состояния

Анализируя процессы переработки полимеров, часто приходится встречаться с задачей о нагреве или охлаждении полимера, сопровождающемся изменением физического состояния (плавлением или затвердением). Теоретическое рассмотрение задач такого типа впервые выполнено Нейманном.

Мы остановимся только на одном, наиболее простом случае, в котором для упрощения теплофизические характеристики расплава и твердого полимера будем считать одинаковыми. Пусть скрытая теплота плавления равна λ, а температура плавления Тп. Обозначим координату поверхности раздела между твердой и жидкой фазами через Х(t). Тогда одно из граничных условий которое должно удовлетворяться на этой поверхности, запишется в виде:

                                               Ts = Tm = Tn   при  X=X(t)                                       (2.24)

Индекс s указывает, что соответствующая величина относится к твердой фазе (например, ρs — плотность твердой фазы). Соответственно индекс m указывает, что величина относится к жидкой фазе.

Второе граничное условие касается поглощения (или выделения) скрытой теплоты на поверхности раздела. Предположим, что в области x>x(t) находится жидкость при температуре Тт(х, t), а в области x=x(t) — твердая фаза при температуре Ts(xtt).

Если поверхность раздела перемещается на расстояние dx, то в элементе объема вещества выделяется и должно быть отведено в результате теплопроводности количество тепла, в пересчете на единицу поверхности равное lρdx. Математически это условие за­пишется в виде:

                             (2.25)

Рассмотрим три случая: плавление, затвердевание и плавление с удалением расплава.

2.3.1. Плавление в области х > 0.

Если в начальный момент область х > 0 занята твердым телом с постоянной температурой Ts0 и при t > 0 плоскость х = 0 поддерживается при постоянной темпера­туре Т2 > Тп, то положение плоскости плавления определится вы­ражением:

                                                                                            (2.26)

Здесь   - корень уравнения

           (2.27)

         где

;  

При этом распределение температур в твёрдой и жидкой фазах описывается выражением:

                                                                           (2.28)

                                 (2.29)

2.3.2. Затвердевание.

 Пусть в начальный момент времени область х > 0 представляет собой жидкость, а область х <С 0 — твердое тело. Иначе говоря, в начальный момент поверхность раздела сов­падает с началом координат.

Допустим, что значения термических коэффициентов только что затвердевшего расплава отличаются от значений термических коэффициентов твердой фазы в области х < 0. Присвоим термиче­ским коэффициентам этой области индекс s0.

Поступающий расплав имеет температуру Т2. Координата по­верхности раздела фаз определится соотношением:

                                                          (2.30)

Здесь ξ — корень уравнения

              (2.31)

После определения ξ, которое может быть выполнено любым численным методом (например, методом итерации), можно опре­делить температурные поля во всех трех областях (начальная твердая фаза, затвердевшее вещество и расплав):

                                      (2.34)

                      (2.35)

                                          (2.35)

2.3.3 Плавление с непрерывным удалением расплава.

 Пусть твердое тело нагревается благодаря поступающему извне к его поверхно­сти постоянному тепловому потоку q. При этом весь расплав не­прерывно удаляется. Примем плоскость, на которой происходит плавление, за плоскость с координатой х = 0 и будем считать, что твердое тело в области х > 0 движется относительно этой плос­кости со скоростью υ. Следовательно, массовый расход расплава, Qm, отнесенный к единичной ширине, равен:

                                                                                  (2.36)

В установившемся режиме температура в области х > 0 опи­сывается выражением:

                                                           (2.37)

Из дифференциального уравнения теплопроводности следует, что тепловой поток в стационарном режиме равен нулю. Следовательно, количество тепла, подведенного извне в единицу времени, должно быть равно количеству тепла, отводимого в еди­ницу времени с расплавом:

                                      (2.38)

Определив υ из соотношения (2.38), можно рассчитать рас­пределение температур в твердом теле по формуле (2.36). Рассмотренные три случая наиболее типичны для процессов переработки полимеров, так как любой реальный процесс плавле­ния можно свести к одному из них.

2.4.Теплопередача в потоках расплава

Передача тепла в движущейся жидкости происходит по механизму конвективного теплообмена, который осуществляется как за счет переноса тепла током жидкости, так и за счет теплопроводности самой жидкости. Аналитическое решение дифференциальных урав­нений теплопроводности в случае конвективного теплообмена удается получить лишь при введении большого числа упрощений. Поэтому для практических целей используют результаты экспери­ментальных исследований, представленные в виде зависимостей между соответствующими критериями подобия. Обычно при изу­чении теплопередачи конвекцией принимаются следующие до­пущения:

1) на границе с поверхностью нагрева (охлаждения) соблю­даются условия прилипания; 2) физические параметры жидкости (теплоемкость, теплопроводность, плотность и вязкость) сохра­няют неизменное значение для всего потока; 3) лучистый тепло­обмен между поверхностью нагрева (охлаждения) и потоком жидкости происходит независимо от контактной теплоотдачи.

В настоящее время наибольшее распространение получили экс* периментальные исследования процессов стационарного теплооб­мена. Для описания процесса теплообмена обычно используется известное уравнение Ньютона:

                                                      (2.39)

где а — коэффициент теплоотдачи, определяющий количество тепла, подводимое (или отводимое) к жидкости в единицу времени через поверхность с единичной площадью;

Tw — температура стенки канала;

Тж — средняя температура жидкости.

По своему физическому смыслу коэффициент теплоотдачи является условной величиной и характеризует отношение коэффициента теплопроводности жидкости к толщине δ пристенного слоя, в котором происходит температурный скачок:

                                                               (2.40)

Использование методов теории подобия позволяет свести решение проблемы теплообмена в потоке жидкости к экспериментальному определению вида функциональной зависимости:

                                            (2.41)

Здесь —   критерий    Нуссельта,    характеризующий   интенсивность

теплообмена;

Рr = Срμ/l — критерий Прандтля, характеризующий соотношение между количеством тепла, поглощаемого жидкостью за счет изменения энталь­пии, и количеством тепла, отводимого за счет теплопроводности;

Gr = gλP2lzΔT/μ2 — критерий Грасгофа, характеризующий интенсивность теплооб­мена за счет свободной конвекции;

 Re = vlp/ц — число Рейнольдса, характери­зующее отношение сил инерции к силам вязкого трения;

Ре = vd/a — критерий Пекле;

— критерий Гретца.

Известные в настоящее время результаты экспериментального исследования теплообмена в расплавах полимеров относятся пре­имущественно к течению в каналах круглого сечения. Общая фор­мула имеет вид:

                                   (2.42)

где индексы «Ж» и «ст» Означают, что соответствующие значения критерия от­носятся к усредненным характеристикам жидкости или к характеристикам жид­кости в пристенном слое.

Значения показателей степени при критериях в уравнении (2.42) приведены ниже:

Таблица (3.1) Значения показателей степени при критериях подобия.

2.5. Лучистый теплообмен

Нагрев излучением применяется главным образом в операциях, предшествующих пневмо- и вакуум-формованию относительно тон­ких листов термопластов.

Лучистая энергия передается в виде электромагнитных волн, распространяющихся в пространстве до тех пор, пока на их пути не встретится какая-либо поглощающая среда: газ, жидкость или твердое тело. Излучаемая энергия пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры изучающего тела. Так как обычно большая часть энергии излучения в применяемой на прак­тике области температур приходится на инфракрасный спектр, нагрев излучением называют также инфракрасным нагревом.

Гипотетическое тело, поглощающее все падающие на него лучи, называется абсолютно черным телом. Интенсивность лучеиспуска­ния абсолютно черного тела Еb определяется законом Стефана — Больцмана:

                                                                  (2.43)

Где а — постоянная Стефана  Больцмана, равная 1,36 • 10 -12 кал/(см2 • с • /K4), или   

Реальные тела излучают меньше энергии. Их излучательная способность е оценивается по формуле:

                                                    (2.44)        

где Е — интенсивность лучеиспускания реального тела.

Обычно ε зависит от температуры, увеличиваясь с ее ростом. Металлоиды и окислы металлов обладают высокой излучательной способностью (ε ≥ 0,8). У хорошо отполированных металлов из­лучательная способность невысока (ε ≤ 0,1)  Реальные тела по­глощают только часть попадающего на них излучения.

Коэффи­циент поглощения определяется как отношение поглощенного из  лучения к падающему.

При расчете лучистого теплообмена между черными телами под излучение попадает только та часть тела, которая просматривается с излучающего тела. Далее, интенсивность излучаемой энергии максимальна вдоль нормали к поверхности и равна нулю в тангенциальном направлении. Можно учесть взаимное расположение излучателя и облучаемого тела введением коэффициента видимости, учитывающего долю излучаемой энергии, которая попадает на облучаемое тело.

Допустим, что лучистая энергия, излучаемая от черной поверхности 1 на черную поверхность 2, равна E1A1F12 (A1 — площадь излучателя, F12 — доля энергии, попадающая на поверхность 2). Очевидно, что

                                               A1F12 = A2F21                                                                          (2.45)

Поэтому количество тепла Q12, переданное при лучистом тепло­обмене от тела 1 к телу 2, равно:

                                               Q12 = A1F12(E1-E2)                                   (2.46)

 Воспользуемся законом Стефана — Больцмана и получим:

                                    (2.47)

Наконец, если T2/T1 << 1 то выражение (2.47) сводится к виду:

                                                      (2.48)

         Для неабсолютно черных тел расчет осложняется наличием доли многократно отраженного излучения. В случае двух беско­нечных параллельных пластин общее количество тепла, передан­ного с единицы поверхности, выражается формулой:

                                            (2.49)

где Fε — коэффициент излучения, равный:

                                                                                      (2.50)

Коэффициент теплопередачи h определится из выражения, анало­гичного по форме уравнению Ньютона:

                                                   (2.51)

Реальные полимеры и их расплавы плохо пропускают инфра­красное излучение. Поэтому падающая на них энергия превра­щается в тепло непосредственно на их поверхности. Некоторое количество выделяющегося тепла сразу же теряется на потери в виде собственного излучения и путем конвекции.

Поглощаемое тепло распространяется внутрь за счет процес­сов теплопроводности. Поэтому итоговое распределение темпера­тур в теле, нагреваемом лучистой энергией, зависит не только от мощности потока лучистой энергии, но также и от теплопроводно­сти и конвективных потерь.

Страницы: 1, 2, 3