Реферат: Аксиоматика теории множеств

Un1 (X) означает Un (X) & Un (). (X взаимно однозначен.)

X‘Y

Если существует единственное z такое, что   X, то z = X‘y; в противном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из области определения X, то X‘y есть значение этой функции, примененной к у (В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функциональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соответствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение некоторой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)).

X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть область значений класса X, ограниченного областью Y.)

А к с и о м а R. (Аксиома замещения.)

x (Un (X)  yu (u  y  v ( X & v  X))).

Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалентное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то область значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множеством, также есть множество.

Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных множеств.

А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.)

x (0  x & u (u  x  u  {u}  x)).

Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0  x, и если и  x, то и {и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0}  x, {0, {0}}  x, {0, {0}, {0, {0}}}  x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, … , n = {0, 1, … , n – 1}, то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п  х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …

Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), аксиому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом существования классов В1—В7.

Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y = (x  x) ,т. е. х (х  Y  х  х). (Такой класс Y существует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х  х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокращенной, символике эта последняя формула записывается так: X (M(X)  (X  Y  X  X)). Допустим M(Y). Тогда Y  Y  Y  Y, что, в силу тавтологии (A  A) A & &  A, влечет Y  Y  Y  Y. Отсюда по теореме дедукции получаем  M(Y)(Y  Y  Y  Y), а затем, в силу тавтологии (B  (A &  A)) B , получаем и  М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных парадоксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти).

Определения

X Irr Y означает y (y Y   X) & Rel (X).

(X есть иррефлексивное отношение на Y.)

X Tr Y означает Rel (X) & uvw (uY & vY & wY &

& X &X & X X).

(X есть транзитивное отношение на Y.)

X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y).

(X частично упорядочивает Y.)

X Con Y означает Rel(X) & uv (uY & vY & u ≠ v

 X    X).

X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).

(X упорядочивает Y.)

X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & Z (ZY &

& Z ≠ 0 y (y  Z & v (v  Z & v ≠ y   X &  

&   X))).

(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна.

Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.

Следующие формулы эквивалентны:

А к с и о м а в ы б о р а (АС): Для любого множества х существует функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х f‘ y  y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й ф у н к ц и е й для х).

М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого множества х непустых и попарно непересекающихся множеств, существует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.

u (u  x  u ≠ 0 & v (v  x & v ≠ u v ∩ u = 0))

yu (u  x 1w (w  u ∩ y)).

П р и н ц и п в п о л н е у п о р я д о ч е н и я (W. O.): Всякое множество может быть вполне упорядочено. x y (y We x).

Т р и х о т о м и я (Trich): xy (x  y y  x).

Л е м м а Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном множестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.

xy ((y Part x) & u (u  x & y Tot u v (v  x &w (w  u w =

= v    y)))  v (v  x &w (w  x   y))).

Доказательство.

1.  (W. O.) Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W. O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа α и β, что х  α и y  β. Но так как α  β или β  α, то либо x  y, либо y  x.

2.  Trich  (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число α, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа α, и вполне упорядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х.

3.  (W. O.)  Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество (х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f‘u для любого и  х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и  (х).)

4.  Mult AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g‘и = u {и}. Пусть х1 —область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основании Mult, для х1 существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ≠ u и u  х, то и {и}  х1 и у содержит и притом единственный элемент из и {и}. Функция f‘ u = v является искомой выбирающей функцией для х.

5.  АС Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое множество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань. На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выполнялось F‘0 = b и F‘α = f‘u для любого α, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F‘‘ α относительно упорядочения у, что v  х и v  F‘‘ α. Пусть β есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v множества F‘‘ β относительно упорядочения v, принадлежащих x и не принадлежащих F‘‘ β. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однозначной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством множества х в качестве области значений, откуда по аксиоме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть g = β 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если α <0 γ <0 β, то g‘α, g‘γ y. Поэтому множество g‘‘ β является y-цепью в x. Согласно условию, и x существует верхняя грань w множества g‘‘ β. Так как множество верхних граней множества F‘‘ β (= g‘‘ β), не содержащихся в g‘‘ β, пусто, то w  g‘‘ β, и, следовательно, w является единственной верхней гранью множества g‘‘ β (ибо всякое множество может содержать в себе не более одной своей верхней грани). Отсюда следует, что w есть максимальный относительно упорядочения y элемент множества х. (Действительно, если y и zх, то z должно быть верхней гранью g‘‘ β, что невозможно.)

6.  Zorn (W. O.). Пусть z есть множество, а X есть класс всех взаимно однозначных функций f таких, что D(f)Оп и R(f)z. Из теоремы Хартогса следует, что X есть множество. Очевидно также, что 0  X. Отношение  частично упорядочивает X. Каковы бы ни были две функции, принадлежащие одной и той же цени в X, одна из них является продолжением другой. Поэтому для любой цепи в Х объединение всех принадлежащих ей функций есть снова взаимно однозначная функция, принадлежащая той же цепи. Следовательно, на основании Zorn, в X имеется максимальный элемент g, представляющий собой взаимно однозначную функцию, определенную на некотором порядковом числе я и принимающую значения из z. Допустим, что z - g‘‘ α ≠ 0. Пусть b z - g‘‘ α, и положим f = g{}. Тогда f X и gf, что противоречит максимальности g. Следовательно, g‘‘ α = z, т. е. α  z. Посредством функции g отношение Еα, вполне упорядочивающее множество α, преобразуется в некоторое отношение, вполне упорядочивающее z.

Заключение

Система аксиом теории множеств была создана для решения задачи обоснования базовых положений современной математики. Таким образом существующие разделы математики можно считать a priori непротиворечивыми, поскольку все их доказанные высказывания логически могут быть сведены к аксиомам. В этом отношении аксиоматика выполнила свое предназначение.

Список литературы

Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984.

Ляпин Е. С. Полугруппы. – М.: Физматгиз, 1960.

Стол Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. Ю.А. Гастаева и И.Х. Шмаина. Под ред. Ю.А. Шихановича. М.: «Просвещение», 1968.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.bankreferatov.ru/