Реферат: Аксиоматика теории множеств

Примеры. 1. Пусть φ (X, Y1, Y2) есть формула uv (X =  & u   Y1 & v  Y2). Здесь кванторы связывают только переменные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов,  Z x (x  Z  uv (x =  & u  Y1 & v  Y2)), а на основании аксиомы объемности,  1Z x (x  Z  uv (x =  & u  Y1 & v  Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву :

Определение. x (x  Y1  Y2  uv (x =  & u  Y1 & v  Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).

Определения.

X2 обозначает X  X (в частности, V2 обозначает класс всех упорядоченных пар).

…………………………………………………………………………………………………

Xn обозначает Xn-1  X (в частности, Vn обозначает класс всех упорядоченных n-ок).

Rel(X) служит сокращением для Х V2 (X есть отношение).

2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,  1Zx (x  Z  x Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.

Определение. x (x P (Y)  x Y). (P (Y): класс всех подмножеств класса Y.)

3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу v (X  v & v  Y).

По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности,  1Zx (x  Z v (x  v & v  Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы элементов класса Y и только они.

Определение. x (x  (Y)  v (x  v & v  Y)). ((Y): объединение всех элементов класса Y)

4. Пусть φ (X) есть u (X = ). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что x (x  Z u (x = )).

Определение. x (x I  u (x = )). (Отношение тождества.)

Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)

 1W( W  Vn & x1…xn ( W

 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).

Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого x1…xn ( Z  φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его единственность вытекает из аксиомы объемности.

Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок  , удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. u (u    φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)  x1…xn (u =  & φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим  u (u   φ (x, Y1, …, Ym)  φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись ).

Примеры. 1. Пусть φ есть Y. Обозначим ( Y) сокращенно через , тогда   V2 & x1x2( Y  Y). Назовем  обратным отношением класса Y.

2. Пусть φ есть v ( Y). Обозначим через R(Y) выражение (v ( Y)). Тогда  u (u R(Y) v ( Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно,  R(Y) = D().

Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.

А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)

xyu (u  y  v (u  v & v  x)).

Эта аксиома утверждает, что объединение (х) всех элементов множества х является также множеством, т. е.  x (M((х))). Множество и (х) обозначают также через и v.

Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.

А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)

xyu (u  y  u  x).

Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем называть множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы,  x (M(P (х))).

Примеры.

 P (0) = {0}.

 P ({0}) = {0, {0}}.

 P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.

Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая аксиома выделения.

А к с и о м а S.

xY zu (u  z  u  x & u  Y).

Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y существует множество, состоящее из элементов, общих для х и Y. Следовательно,  xY (M (x ∩ Y)), т. е. пересечение множества с классом есть множество.

Предложение 5.  xY (Y  x  M (Y)) (т. е. подкласс множества есть множество).

Доказательство.  x (Y  x Y ∩ x = Y) и  x (M (Y ∩ x)).

Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответствующий класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле A(у), есть множество.

Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений.

Определения

Un (X) означает xyz (  X &   X  y = z).

(X однозначен.)

Fnc (X) означает X  V2 & Un (X). (X есть функция.)

Y 1 X означает X ∩ (Y V). (Ограничение Х областью Y.)

Страницы: 1, 2, 3, 4