Курсовая работа: Как писать математические тексты
Слова «содержать» и «включать» — почти всегда употребляются
как синонимы, и часто теми же самыми людьми, которые старательно учат своих
студентов, что символы Î и Ì — это вовсе не одно и то же. Совершенно не правдоподобно,
что использование этих слов вперемешку приведет к недоразумению. Тем не менее,
несколько лет назад я начал эксперимент, который продолжаю и теперь: я
систематически устно и письменно использовал глагол «содержать» для Î
и «включать» — для Ì. Едва ли я что-нибудь доказал этим, но могу сообщить, что
(а) это очень легко; (б) вреда от этого — никакого; (в) думаю, что никто ни
разу этого не заметил. Полагаю, хотя, по-видимому, это и недоказуемо, что
такого сорта терминологическое постоянство (без суетливости) могло бы тем не
менее сделать жизнь читателя (и слушателя) удобнее.
Постоянство, между прочим, — великое достоинство изложения,
а непостоянство — смертный грех. Постоянство важно в языке, обозначениях,
ссылках, разметке шрифтов — оно важно всюду, а его отсутствие может вызвать
все, что угодно, начиная с легкого раздражения и кончая полной дезинформацией.
Мои советы об использовании слов можно резюмировать так.
(1) Избегайте технических терминов, где только можно, и особенно старайтесь не
сочинять новых. (2) Крепко подумайте над новыми терминами, если уж без них не
обойтись. Справьтесь по словарю Роже и выберите их как можно удачнее. (3)
Употребляйте старые термины правильно и всегда в одном и том же смысле, но без
излишнего педантизма.
15. Воздерживайтесь от обозначений. Все сказанное об употреблении слов с соответствующими
изменениями и оговорками применимо к еще более мелкой единице математического
сочинения — к математическим символам. Лучшее обозначение — отсутствие
обозначений. Где только возможно, избегайте громоздкого алфавитного аппарата.
Хорошо готовить письменное математическое сообщение, представляя себе, что оно
— устное. Вообразите, будто бы рассказываете все другу на какой-нибудь долгой
лесной прогулке и у вас нет бумаги. Прибегайте к обозначениям только тогда,
когда это необходимо.
Вот следствие из принципа «чем меньше обозначений, тем
лучше их система»: не вводите ненужных букв, точно так же, как ненужных
предложений. Пример: «На компактном пространстве всякая вещественнозначная непрерывная
функция f ограничена». Зачем здесь f? Разве утверждение от этого
становится яснее? Другой пример: «Если 0 £ lim an1/n = r < 1,
то lim an
= 0». Зачем тут r? Ответ одинаков в обоих случаях (незачем), но причины
присутствия лишних букв могут быть различны. В первом случае f может
появиться в результате дурной привычки; во втором случае r,
возможно, подготавливает доказательство. От дурной привычки можно отвыкнуть. С
другим излишеством труднее, потому что здесь автор должен поработать. Без r в
формулировке доказательство станет на полстрочки длиннее; его нужно будет
начать как-нибудь так: «Положим r = lim an1/n». Повторение
(символа lim an1/n) в этом случае целесообразно: и формулировка и
доказательство читаются так легче и становятся естественнее.
Эффективная формулировка принципа «не используйте ненужных
букв» такова: «Не используйте ни одну букву однократно». Логики сказали бы это
так: «Не оставляйте свободных переменных». В приведенном выше примере о
непрерывных функциях символ f является свободной переменной. Лучший
способ исключить это f — опустить его. Иногда предпочтительнее
превратить f из свободной переменной в связанную. Большинство
математиков сделало бы это так: «Пусть f — вещественнозначная
непрерывная функция на компактном пространстве; тогда f ограничена».
Некоторые логики станут, вероятно, настаивать на том, что f —
по-прежнему свободная переменная в новой фразе (дважды свободная) и, с
технической точки зрения, они будут правы. Чтобы сделать f связанной
переменной, необходимо в каком-нибудь грамматически подходящем месте вставить
оборот «для всех f», но в математике общепринято молчаливое соглашение,
по которому всякой фразе предшествуют все кванторы общности, нужные для
обращения всех свободных переменных в связанные.
Правило «никогда не оставлять в предложении свободные
переменные», как и многие другие правила, сформулированные мной, иногда лучше
нарушать, чем соблюдать. В конце концов, фраза — это условная единица изложения
и если вам хочется оставить висеть в ней свободную переменную f, чтобы
позднее, скажем, в этом же абзаце, этой f воспользоваться, то не думаю,
что вас обязательно нужно гнать из авторского полка. Тем не менее, это —
здоровый принцип, он гибок, но бить его вдребезги не следует.
Существуют и другие логические тонкости, способные
остановить, или, в лучшем случае, задержать читателя, если с ними небрежно
обращаться. Предположим, например, что в каком-то пункте вы написали
|
1 |
|
(*) |
ò |
| f (x)| 2
dx < ¥
|
|
0 |
|
как некоторую, скажем, теорему о фиксированной функции f.
Если позже вы столкнетесь с другой функцией g, которая тоже обладает
этим свойством, то воспротивьтесь желанию сказать: «g также
удовлетворяет (*)». Ведь это — бессмыслица с точки зрения и логики и
обозначений. Вместо этого скажите «условие (*) остается верным, если заменить f
на g» или, что еще лучше, назовите как-нибудь свойство (*) (в данном
случае общепринятое название уже есть) и говорите так: «g тоже
принадлежит пространству L²(0,1)».
Что можно сказать о выражениях типа «неравенство (*)»,
«уравнение (7)» или «формула (iii)»? Следует ли отмечать либо нумеровать все,
что вынесено между строк? Мой ответ: нет. Причина: бесполезные ярлычки не нужны
так же, как излишние предпосылки или никчемные обозначения. Небольшая часть
внимания отвлекается на этот значок и уголком мозга читатель станет думать, к
чему бы это. Если номер и вправду нужен, то внимание читателя будет незаметно
подготовлено к будущей ссылке на эту же идею, но если ни к чему, то внимание и
ожидание пропали впустую.
Итак, пользоваться ярлычками следует скупо, но не впадайте
в крайность. Я не советую поступать так, как однажды поступил Диксон [2]. На стр. 89 он говорит: «Затем... мы получаем (1)» — а
ведь на стр. 89 начинается новая глава и там вообще нет ни одной выделенной
формулы, тем более с номером (1). Оказывается, ссылка (1) находится на стр. 90,
на обороте, а мне бы и в голову не пришло искать ее там. Минут пять я
был в шоке после этой шутки; когда же, наконец, я увидел свет, то почувствовал
себя околпаченным и замороченным, и уже никогда не простил этого Диксону.
Громоздкие обозначения часто возникают при проведении
индукции. Порой это неизбежно. Однако чаще достаточно объяснить переход от 1 к 2
и заключить воздушным «и так далее». Это не проигрывает в строгости подробным
вычислениям, зато гораздо понятнее и убедительнее. Точно так же какое-нибудь
общее утверждение об (n×n)-матрицах часто лучше всего
доказывается не подробным выписыванием всевозможных символов aij с многоточиями, расположенными горизонтально, вертикально и по
диагонали, а рассмотрением типичного частного случая (скажем 3×3).
Во всех моих рассуждениях о вреде обозначений есть своя
логика. Дело в том, что для глупой вычислительной машины существует лишь одно
строгое понятие математического доказательства. Для человеческого же существа,
одаренного геометрической интуицией, ежедневно растущим опытом, нетерпением и
неспособностью сосредоточиться на надоедливых деталях, это не годится. Еще
одним примером тому может служить любое доказательство, состоящее из цепи выражений,
соединенных знаками равенства. Такое доказательство легко написать. Автор
начинает с первого равенства, совершает естественную подстановку, чтобы
получить второе, группирует, переставляет, вносит и тут же вдохновенно
сокращает множители и так продолжает до тех пор, пока не получит последнее
равенство. Это — опять-таки разновидность кодирования, и читателю приходится
одновременно расшифровывать и учиться по ходу дела. Такое удвоение работы
бессмысленно. Если автор потратит лишние десять минут и напишет абзац тщательно
обдуманных слов, он сбережет полчаса времени каждого из читателей и избавит их
от лишних недоумении. Такой абзац должен представлять собой руководство к
действиям, заменив бесполезный шифр, который лишь сообщает результаты действий и
оставляет читателю гадать, как они получились. Руководство должно быть примерно
таким: «Для доказательства подставим p вместо q, затем
сгруппируем члены, переставим множители и, наконец, умножим и разделим на
множитель r».
Известный прием плохого обучения — начинать доказательство
со слов: «Для данного e положим d равным (e/(3M² + 2))½». Это —
восходящий к традициям классического анализа способ писать доказательство от
конца к началу. Его преимущество в том, что его легко проверить машине
(но трудно понять человеку). Еще одно сомнительное преимущество этого же
способа состоит в том, что в самом конце нечто оказывается меньше e, а
не, скажем, (e(3M² + 7)/24)½. Как облегчить в данном случае жизнь читателю, очевидно:
напишите доказательство от начала к концу. Начните, как всегда начинают авторы,
фиксировав нечто меньшее, чем e, а потом делайте все, что нужно
делать — когда нужно, умножайте на ЗM² + 7, потом — делите на 24 и т.д.
и т.д. — пока не выйдет то, что выйдет. Ни одно из расположений материала не
отличается изяществом, но второй способ по крайней мере легче схватывается и
запоминается.
16. Правильно используйте обозначения. Со специальными знаками много вреда не наделаешь, но и
здесь полезно быть последовательным и избегать в отдельности незаметных, а в
совокупности разъедающих злоупотреблений. Например, хорошо использовать символ
с таким постоянством, чтобы его словесный эквивалент был всегда одним и тем же.
Это — хорошо, но почти невозможно. Тем не менее, лучше стремиться хоть к этому,
чем ни к чему. Как следует читать Î: как сказуемое «лежит в»
или как предлог «в»? Как правильно сказать: «Для всех х Î
A имеем х Î B» или «Если х Î
A, то х Î B»? Я решительно предпочитаю последнее (всегда
читаю Î как «лежит в») и вдвойне осуждаю первое (ведь оба чтения
встретились в одной фразе). Легко написать и легко прочитать: «Для всех х
из A мы имеем: х Î B»; диссонанс и
легкая двусмысленность обойдены. То же самое относится к Ì,
несмотря на то, что словесный эквивалент здесь длиннее, и даже к символу £
. Фраза типа «Если только положительное число £3, то его квадрат £9»
уродлива.
Не только абзацы, фразы, слова, буквы и математические
символы, но и невинные с виду знаки обычного повествования могут служить
источником недоумении; я имею в виду знаки препинания. Достаточно пары советов.
Первый: уравнение, неравенство или включение, или любое другое математическое
выражение, по своему содержанию эквивалентно некоторому предложению обычного
языка и поэтому оно должно отделяться от соседних с ним выражений. Другими
словами: расставляйте знаки препинания в символических фразах как в обычных
словесных предложениях. Второй совет: не перетруждайте такие мелкие знаки, как
точка или запятая. Читатель легко может проглядеть их, а такая оплошность
вынуждает вернуться назад, вызывает замешательство, задерживает. Пример:
«Предположим, что a Î X. X принадлежит классу C, ...».
Точка между двумя буквами X несет излишнюю нагрузку. Вот еще:
«Предположим, что X обращается в нуль. X принадлежит классу C,
...». Хорошее общее правило: никогда не начинайте фразу с символа. Если уж вы
непременно хотите начать фразу с упоминания объекта, который обозначается
данным символом, то и поставьте подходящее слово в самом начале: «Множество X
принадлежит классу C, ...».
Перетруженная точка не хуже, чем перетруженная запятая. Не
пишите «Если X обратим, X* также обратим»; лучше: «Если X
обратим, то и сопряженный к нему X* также обратим». Не пишите также «Так
как p ¹ 0, p Î U»; вместо этого
пусть будет: «Из того, что p ¹ 0, следует, что p Î
U». Даже обычная фраза «Не хотите, не надо» (т.е. ее математические
эквиваленты) усваивается хуже, чем напыщенное «Если вам это и не нравится, то
придется вам это проглотить». Я рекомендовал бы ставить после «если» «то» во
всех математических текстах. Наличие слова «то» никогда не приведет к
недоразумению, а вот его отсутствие — может.
Последняя техническая деталь, которая может помочь в
писательской работе, и которую здесь следует упомянуть, в некотором смысле еще
меньше, чем знаки препинания, в некотором смысле она просто невидима, но в
другом смысле она заметнее всего на печатной странице. Я говорю о плане,
архитектуре, внешнем виде страницы самой по себе и, вообще, всех страниц.
Опыт писательской работы и, возможно, трезвого и
критического чтения должен придать вам способность чувствовать, как будет
смотреться в напечатанном виде то, что вы пишете сейчас. Если текст выглядит
как плотная проза, то в печати он приобретет вид непривлекательной проповеди;
если это — вычислительная мешанина, и страница набита формулами, то в
напечатанном виде текст будет пугать своей сложностью. Лучше всего — золотая
середина. Делите текст, но не дробите его; пользуйтесь словесными периодами, но
не слишком длинными. Выносите формулы между строк, чтобы глаза могли помогать
мозгу; применяйте символы, но перекладывайте их словами, чтобы внимание не
плутало в чаще индексов.
17. Всякое сообщение требует
организации. Выше я уже говорил, а
сейчас хотел бы подчеркнуть это вновь, что различия между книгами, статьями,
лекциями и письмами и всеми иными способами сообщения, какие вы можете
придумать, меньше, чем сходство.
Когда вы пишете исследовательскую статью, роль «клочков
бумаги», из которых составляется набросок книги, могут играть открытые вами
теоремы и доказательства; вам все равно придется раскладывать из них пасьянс.
С лекцией дело обстоит немного иначе. Поначалу лекция — это
статья; вы планируете ее и пишете как статью. Различие состоит в том, что вам
приходится держать в уме трудности устного ее воспроизведения. Читатель может
разрешить себе отвлечься, а потом вновь ухватить нить повествования, не потеряв
ничего, кроме собственного времени. Слушатели в аудитории не могут себе этого
позволить. Читатель может попытаться доказать ваши теоремы самостоятельно,
используя при этом ваше изложение как контролирующее подспорье, а слушатель не
может этого сделать. Продолжительность очередной порции читательского внимания
довольно коротка, а у слушателя она намного короче. Если вычисления неизбежны,
то читателя можно им подвергнуть, а слушателя — никогда. Половина искусства
хорошо писать — это искусство пропускать; для лектора искусство пропускать
составляет девять десятых дела. Здесь различия еще невелики. Даже хорошо
написанная статья, прочитанная вслух, может оказаться ужасной лекцией; она,
однако, не будет хуже некоторых лекций, которые мне доводилось слушать.
Для лектора вид печатной страницы заменяется видом доски, а
воображаемая автором аудитория — живыми людьми. Это уже значительные различия.
Доска открывает возможности, которых нет у листа бумаги: на ней можно показать,
как тема живет и растет. (Лекторы, подготовляющие доску заранее и записывающие
ее целиком до того, как начинают говорить, поступают неразумно и
недоброжелательно по отношению к слушателям.) Живые люди обеспечивают
мгновенную реакцию на сказанное; для автора текста это — недостижимая мечта.
Основные проблемы общения при изложении во всех случаях
одинаковы; их я и описал в этом очерке. Содержание, цель и организация
изложения, плюс жизненно важные детали грамматики, стиля и обозначений, но ни в
коем случае не показные трюки, — вот основные составляющие элементы хороших
лекций и хороших книг.
18. Отстаивайте свой стиль. Ровная, последовательная, эффективная манера изложения
имеет своих врагов; эти враги называются помощниками редактора или
корректорами.
Редактор может оказать
огромную помощь автору текста. Обычно авторы математических текстов живут без
этой помощи, потому что редактор математической книги должен быть математиком,
а редакторов-математиков очень мало. Идеальный редактор, который в принципе
должен разбираться в теме до мелочей, может высказать квалифицированную, но
беспристрастную точку зрения на проделанную автором работу; сам автор этого
сделать не может. Идеальный редактор представляет собой объединение друга,
жены, ученика и студента младшего курса, роль которых в создании книг описана
выше. Математические редакторы книжных серий и журналов даже близко не подходят
к этому идеалу. Издательская работа является лишь небольшой частью их жизни,
тогда как для хорошего редактора она должна целиком заполнять рабочий день.
Идеального математического редактора не существует; комбинация друг — жена — и т.д.
— лишь почти идеальная замена.
Помощник редактора —
это весь день работающий сотрудник, задача которого состоит в обнаружении вашей
непоследовательности, ваших грамматических и стилистических ошибок — словом,
всевозможных огрехов, за исключением математических. Беда в том, что помощник
редактора не рассматривает себя как продолжение автора, а, как правило,
вырождается в робота, некстати применяющего механически механические правила.
Позвольте привести некоторые примеры.
Однажды я изучал некоторые преобразования, названные
«measure-preserving» 7. (Обратите
внимание на дефис: он играет важную роль, соединяя два слова в одно
прилагательное.) Соответствующим свойством не обладали другие преобразования,
участвующие в изложении; разумеется, на это обстоятельство было указано с
помощью приставки «non». После длинного ряда неверно понятых указаний в верстке
появились «non measure preserving transformations». Конечно, это — бессмыслица,
хоть и забавная, но отвлекающая и неприятная.
Один знакомый математик говорил, что в рукописи своей книги
он написал нечто вроде следующего: «p или q имеют место в
зависимости от того, является ли, соответственно, x отрицательным или
положительным». Помощник редактора исправил это так: «p или q
имеют место в зависимости от того, является ли, соответственно, x
положительным или отрицательным»; ему показалось, что так фраза звучит лучше.
Это было бы смешно, если бы не было так грустно, и, конечно, совершенно
ошибочно.
Общая жалоба всех, когда-либо обсуждавших с помощником
редактора вопрос о кавычках, связана с отношением кавычек к другим знакам
препинания. По-видимому, существует международное соглашение печатников,
согласно которому точка или запятая сразу после кавычек «некрасивы». (Как
здесь: помощник редактора исправил бы конец фразы на «некрасивы.» 8, если бы я ему это позволил.) С точки зрения логичного
математика (и тем более, математического логика) такое соглашение не имеет
смысла; запятая или точка должны появляться там, где того требует логика
ситуации. Например: Он сказал: «Запятая — это некрасиво.» 8.
Здесь, очевидно, точка относится к закавыченной фразе; две описанные ситуации
различны и никакое негибкое правило нельзя применить к ним обеим.
Мораль: существуют правила «стиля» (чаще всего это —
типографские условности), но их механическое применение помощниками редактора
может оказаться губительным. Если вы хотите быть автором, то вы должны быть
готовы защищать свой стиль и драться за него.
19. Поставьте точку. Битва с корректорами — последняя задача автора; однако не
многие авторы так считают. Психологически последний шаг делается перед этим; он
состоит в том, чтобы закончить книгу — перестать писать. Это трудно.
Всегда находится что-то недоделанное, всегда можно кое-что
сказать еще, или удачнее выразить уже сказанное; в лучшем случае остается
смутное чувство, что еще немного — и можно было бы достичь совершенства,
отказавшись от которого, обречешь себя на вечное раскаяние. Я пишу это,
сожалея, что не включил один-два абзаца о благозвучии и просодии в
математическом тексте. И потом, минуточку! Нельзя же закончить, не обсудив, как
правильно называть понятия (почему «коммутатор» — это хорошо, а «множество
первой категории» — плохо) и теоремы (почему «теорема о замкнутом графике» —
это хорошо, а «теорема Коши–Буняковского–Шварца» — плохо). Да, и вот еще
маленькая заповедь, которую мне все не удавалось как следует сформулировать:
выберите себе образец, хотел я сказать, человека, чьи книги вас учат и
увлекают, приспособьте его стиль к вашей личности и вашей теме... Уж это-то
следует написать где-нибудь.
У этой задачи — одно решение, очевидное: единственный
способ остановиться — быть безжалостным к себе. Вы можете и должны ненадолго
отсрочить агонию, вычеркивая текст, проверяя вычисления, или отложив рукопись
для дозревания и затем перечитывая ее целиком на едином вздохе; но и после
всего этого ваш пыл не остынет.
Когда вы написали все, что пришло вам в голову, выделите
денек-другой, чтобы быстро прочесть рукопись и проверить самое существенное,
что может броситься в глаза со стороны. Все ли хорошо с математической точки
зрения? Интересно ли изложение? Понятен ли язык? Удачна ли и легка для чтения
композиция? После этого вычитывайте и проверяйте вычисления. Это — очевидный
совет; все знают, как это делать. Что такое «дозревание» — легко объяснить, но
не всегда легко выполнить: для этого нужно убрать рукопись с глаз долой и
попытаться забыть о ней на несколько месяцев. Когда вы все это сделали и
перечитали работу спокойно, вы сделали все, что могли. Не пытайтесь получить
еще хоть один результат, перестаньте зализывать шероховатости. Даже если вы и
получите этот результат и сгладите острый угол, вам захочется пуститься в
погоню за новым миражем.
Я подытоживаю: начинайте с начала, и продолжайте, пока не
придете к концу, а потом поставьте точку.
20. Заключительное слово. Я исчерпал все советы по поводу математического
сочинения, которые смог вместить в один очерк. Мои рекомендации основаны
частично на том, что делаю я сам, в большей степени — на том, чего я, к
сожалению, не смог сделать, и в еще большей степени — на том, что я хотел бы
получать от других. Вы можете критиковать меня с многих точек зрения, но только
не сравнивайте мои нынешние заповеди с моими прошлыми делами. Делайте,
пожалуйста, так, как я говорю, а не так, как я делаю — да сопутствует вам
удача. Потом перепишите этот очерк и объясните следующему поколению, как
работать еще лучше.
Список литературы
[1] G.D.Вirkhоff, Proof
of ergodic theorem, Proc. N.A.S USA 17 (1931), pp.656–660.
[2] L.E.Diсksоn, Modern
algebraic theories, Sandborn, Chicago, 1926.
[3] N.Dunfоrd, J.T.Schwartz, Linear operators,
Interscience, N.Y. 1958, 1963.
[4] H.W.Fоwlеr, Modern English usage (Second Edition),
Oxford, N.Y., 1965.
[5] С.Т.Heisеl, The circle squared beyond refutation,
Heisel, Cleveland, 1934.
[6] S.Lefsсhetz, Algebraic topology, A.M.S., N.Y.,
1942.
[7] E.Nelsоn, A proof of Liouville's theorem, Proc.
A.M.S. 12 (1961), p.995.
[8] Roget's International Thesaurus, Crowell, N.Y.,
1946.
[9] J.Thurber, E.Nugent, The male animal, Random House,
N.Y., 1940.
[10] Webster's New International Dictionary,
Merriam, Springfield, 1951.
Примечания
1. P. R. Наlmоs, How to write mathematics,
L'Enseignement Math. 16:2 (1970) 123–152. Перевод с англ. выполнен А. А. Бельским.
2. «На
том стою, и не могу иначе» (немецк.). (Прим. перев.)
3. Согласно
философии Платона все знания и навыки заложены в каждого человека изначально, а
жизнь — это, в некотором смысле, период, в течение которого люди «вспоминают»
все то, что знают и умеют. (Прим. перев.)
4. Continuous
— по-английски — непрерывный. (Прим. перев.)
5. Easy
— по-английски — легко. (Прим. перев.)
6. Ср.
также высказывание Л. М. Леонова: «Если меня заставят писать „огурци“, я не
буду есть этих огурцей!» (Прим. ред.)
7. Сохраняющие
меру. (Прим. перев.)
8. В
русском языке соответствующее правило требует постановки точки в конце фразы,
независимо от того, входят ли в нее обороты, взятые в кавычки. В первом случае
конец фразы должен выглядеть так, как хочет автор: «некрасивы». Во втором
случае: (Он сказал: «Запятая — это некрасиво».) мы имеем дело с одной фразой и
точка должна стоять после кавычек, а не внутри их. (Прим. ред.)
|