Курсовая работа: Как писать математические тексты 
А вот пример того, что, на мой взгляд, является не вполне
честным. Допустим, что в каком-то пункте изложения, бойко доказав некоторое
предложение p, вы вдруг захотели сказать: «Заметим, однако, что из p
не следует q», а потом, решив, что вы уже здóрово все объяснили,
благополучно перешли к другим вещам. Ваши побуждения могут быть при этом
совершенно чистыми, однако читатель все равно вправе чувствовать себя
обманутым. Если бы ему было все известно о вашем предмете, он не читал бы
написанного вами; вполне возможно, что указанное вами отсутствие импликации ему
не ясно. Что это — очевидно? (Тогда так и скажите.) Или позднее будут даны
контрпримеры? (Тогда пообещайте их теперь же.) Может быть, это — стандартный
факт, имеющийся в литературе, но для ваших нынешних целей несущественный?
(Дайте ссылку.) А может быть, страшно сказать, вы попросту безуспешно пытались
вывести q из p, да так и не узнали, следует ли q из p
на самом деле? (Немедленно признайтесь!) В любом случае: окажите читателю
полное доверие.
Нет ничего плохого в использовании многократно осмеянных
оборотов «очевидно» и «легко видеть», однако, есть минимальные ограничения,
которые следует соблюдать. Написав, что нечто очевидно, вы наверное так и
думали. Но когда, спустя месяц, или два, или шесть вы вынули рукопись и
перечитали ее заново, вы по-прежнему продолжаете так считать? (Дозревание в
течение нескольких месяцев всегда улучшает рукописи.) Когда вы объясняли это
другу или на семинаре, было ли это место воспринято как очевидное? (Или
кто-нибудь задавал вопросы и усаживался ворча, после ваших уговоров? Вы его
убедили или запугали?) Ответы на эти риторические вопросы ограничивают
использование слова «очевидно». Есть еще и другое правило, главное; его знает
каждый; нарушение этого правила — самый частый источник математических ошибок;
удостоверьтесь в том, что «очевидное» — верно.
Само собой разумеется, что вы пишете не для того, чтобы
скрыть факты от читателя: вы пишете, чтобы раскрыть их. Я хочу этим сказать,
что вы не должны утаивать от читателя истинного положения ваших утверждений в
системе, как и вашего отношения к ним. Как только вы сообщаете что-нибудь, скажите
читателю, было ли это уже доказано, или не было, будет ли это доказываться, или
не будет. Подчеркивайте важное и сводите к минимуму тривиальности. Существует
много хороших доводов в пользу очевидных утверждений, рассеянных там и сям по
тексту, но об их очевидности нужно говорить, чтобы новичок видел их в должном
свете. Даже если тот или иной читатель и рассердится на вас за это, вы
поступаете правильно, сообщая ему вашу точку зрения на предмет. Но, конечно, вы
должны подчиняться правилам. Не подводите читателя; он хочет вам верить.
Претенциозность, обман и недомолвки могут обнаружиться не сразу, но большинство
читателей вскоре почувствует, что что-то не так; тогда они будут винить не
факты и не самих себя, а автора, как и должно быть. Абсолютная честность в
изложении помогает максимальной ясности.
10. Долой все тривиальное и
несущественное. Бывает так, что
утверждение, очевидное настолько, что об этом и говорить не стоит,
формулируется в плохой фразе, которая задерживает внимание, запутывает и смущает.
Я имею в виду что-нибудь такое: «Пусть R — коммутативное полупростое
кольцо с единицей и пусть x, y Î R; тогда х²
– у² = (х – y)(х + y)». Бдительный
читатель начнет себя спрашивать, какое значение полупростота и единица имеют
для того факта, который он всегда считал очевидным. Не относящиеся к делу
предположения, бессмысленно втиснутые в текст, неверный акцент или даже
отсутствие правильного акцента могут разрушить все изложение.
Отвлекающие и ненужные предположения служат причиной лишней
траты читательского времени; почти столько же времени отнимает автор, не
завоевавший доверия читателя явным упоминанием тривиальных случаев, или, если
нужно, исключением их. Всякое комплексное число является произведением
некоторого неотрицательного числа и некоторого числа с модулем 1. Это верно, но
читатель будет себя чувствовать неуверенно, если сразу после сказанного (быть
может, ему напоминали это по какому-нибудь поводу, перед введением очередного
обобщения) ему не сообщили ничего о сомнительном поведении нуля (тривиальный
случай). Дело не в том, что отказ от отдельного разбора тривиальных случаев
может иногда составлять математическую ошибку; я не говорю здесь: «Не делайте
ошибок». Дело в том, что отстаивание формально правильных, но недостаточно
подробных объяснений («Утверждение верно в приведенной формулировке — чего вы
еще хотите?») приводит к искаженному, плохому изложению, плохому в
психологическом отношении. Оно может быть плохим и с точки зрения математики.
Если, например, автор собирается обсуждать теорему о том, что, при
соответствующих условиях, каждое линейное преобразование является произведением
растяжений и вращения, но обходит молчанием случай нуля на одномерном
пространстве, то у читателя складывается неверное представление о поведении
вырожденных линейных преобразований в общем случае.
Здесь, пожалуй, уместнее всего сказать несколько слов о
формулировках теорем: именно в них, более, чем где бы то ни было, необходимо
избегать не относящихся к делу деталей.
Первый вопрос по этому поводу: когда формулировать теорему?
Мой ответ: сразу. Избегайте праздных бесед бог весть о чем, в конце которых
внезапно объявляется: «Итак, мы доказали, что...». Читатель будет гораздо
внимательнее к доказательству, когда он знает, чтó вы доказываете; ему
будет яснее, где используются предпосылки, если он знает их. (Праздный подход
часто приводит к теоремам, повисающим в воздухе, что, по-моему, безобразно. Я
имею в виду такие пассажи: «Итак, мы доказали
Т е о р е м у 2. …».
Такой перепад разрубает фразу; после того как читатель
соберется с мыслями и сообразит, какую шутку с ним сыграли, этот прием
произведет нежелательное отделение утверждения теоремы от ее формулировки.)
Я не хочу сказать этим, что теорема должна появляться без
вводных замечаний, предварительных определений и вспомогательных мотивировок.
Все это идет сначала; потом — формулировка, и, наконец, доказательство.
Формулировка теоремы должна состоять, по возможности, из одной фразы: простой
импликации, или, если некоторые общие предпосылки были сформулированы заранее и
остаются в силе, — простого утверждения. Разговоры вроде: «Без нарушения
общности мы можем предположить...» или «Более того, из теоремы 1 следует...»
оставляйте за пределами формулировки.
В идеале утверждение теоремы — это не просто одна фраза, а
фраза короткая. Теоремы, формулировки которых занимают почти всю страницу (или
еще больше!), трудно воспринимать, труднее, чем следует. Они показывают, что
автор не продумал материал, и не организовал его. Список из восьми предпосылок
(даже если они аккуратно сформулированы) и список из шести утверждений — это не
теорема: это — плохо изложенная теория. Все ли предпосылки нужны для каждого
утверждения? Если ответ отрицателен, то очевидно, что формулировка плоха; если
же ответ положителен, то, вероятно, предпосылки описывают некое общее понятие,
которое заслуживает быть выделенным, специально названным и изученным.
11. Повторяйтесь и не повторяйтесь. Одно важное правило хорошего математического стиля
требует повторений, а другое — требует избегать их.
Под повторением в первом правиле я подразумеваю не
произнесение одной и той же вещи несколько раз с помощью разных слов. Я имею
ввиду дословное повторение фразы или даже нескольких фраз в изложении такого
точного предмета, как математика, с той целью, чтобы подчеркнуть небольшие
изменения в соседнем предложении. Если вы что-то определили, сформулировали или
доказали в главе 1, а в главе 2 хотите заняться параллельной или более общей
теорией, то вы очень поможете читателю, повторяя те же слова и в том же
порядке, пока это возможно; только после этого, под приличествующий барабанный
бой, введите новшество. Барабанный бой необходим. Недостаточно перечислить
шесть прилагательных в одном предложении, а в другом просто повторить пять из
них, слегка ослабив шестое. Сверх этого нужно еще сказать: «Обратите внимание
на то, что первые пять условий в определениях p и q одинаковы;
различие между p и q заключено в ослаблении шестого условия».
Зачастую для того, чтобы поступить так в главе 2, вам
придется вернуться к главе 1 и переписать в ней то, что вам казалось написанным
уже достаточно хорошо, — на этот раз для подчеркивания параллелизма с
соответствующей частью главы 2. Это, кстати, другая иллюстрация неизбежности
спирального плана при сочинении, и другой аспект организации материала.
В предыдущих абзацах описывалась важная разновидность
математического повторения — полезная; вот две другие — вредные.
Одна из причин, по которой повторение часто рассматривается
как прием эффективного обучения, заключается в следующем: предполагается, что
чем чаще вы повторяете одно и то же, тем более вероятно, что вы втолкуете сим
материал. Я не согласен. Когда вы что-нибудь повторяете во второй раз, даже
самый тупой читатель смутно припомнит, что ведь был и первый раз, и начнет
спрашивать себя, то ли это самое, что уже было, или только похожее. (Тут может
помочь фраза вроде: «Сейчас я говорю в точности то же самое, что впервые
сказал на стр. 3».) Если хоть тень такого недоумения появляется, это плохо. Все
то плохо, что без необходимости настораживает, развлекает по пустякам или
каким-нибудь другим способом отвлекает внимание. (Нечаянные двусмысленности —
проклятие многих авторов.) Кроме того, хорошая организация материала и, в
частности, спиральный план, о котором речь шла выше, заменяют повторения
гораздо эффективнее.
Вторая разновидность вредных повторений описана в короткой
и лишь отчасти неточной заповеди: никогда не повторяйте доказательство. Если
некоторые шаги в доказательстве теоремы 2 очень похожи на некоторые части
доказательства теоремы 1, то это сигнал недопонимания. Вот другие симптомы этой
болезни: «С помощью той же техники (того же метода, приема), которая
применялась (или который использовался) в доказательстве теоремы 1...»; еще
хуже: «См. доказательство теоремы 1». Когда случается такая вещь, то очень
может быть, что на самом деле существует лемма, из которой с большой легкостью
и ясностью выводятся обе теоремы; такую лемму стоит поискать, сформулировать и
доказать.
12. Книжное «мы» не всегда плохо. Начинающих авторов часто беспокоит выбор между «я», «мы»
и безличными формулировками. В случаях, подобных этому, здравый смысл важнее
всего. По причинам целесообразности я выскажу здесь свои рекомендации.
Поскольку лучший стиль — наименее навязчивый, я склоняюсь к
нейтральным оборотам. Но это не означает, что нужно один из них
использовать чаще других или, того хуже, всегда. (Фразы типа: «итак,
установлено, что...» ужасны.) Это означает полное отсутствие личных местоимений
первого лица как в единственном, так и во множественном числе. «Так как имеет
место р, q также справедливо...». «Из этого следует p».
«Применение p к q дает r». Почти все (все?) математические
сочинения — информативны (или должны быть такими?); простые повествовательные
предложения — лучшее средство для сообщения фактов.
Иногда эффективно и желательно использование повелительного
наклонения. «Чтобы найти р, умножьте q на r». «При данном р
приравняйте q и r». (Два отступления по поводу «Дано». (1) Не
употребляйте это слово, когда оно ничего не обозначает. Например: «Для любого
данного р существует q». (2) Помните, что оно происходит от
активного глагола и не любит болтаться просто так. Пример: не «если дано p,
то существует q», а «для данного p найдем q».)
Нет ничего худого в книжном «мы», но, если оно вам
нравится, пользуйтесь им правильно. Пусть «мы» означает «автор и читатель» (или
«лектор и аудитория»). Вы можете благополучно сказать «Используя лемму 2, мы
можем обобщить теорему 1» или «Лемма 3 дает нам технику доказательства теоремы 4».
Но не годятся утверждения вроде: «Мы получили этот результат в 1969 году» (если
только это не будет голосом двух или более авторов, говорящих в унисон), или
«Мы благодарим нашу жену за помощь при перепечатке рукописи».
Местоимение «я» и, особенно, его неизменное повторение,
порой производит отталкивающий эффект, как высокомерие или проповеднический
тон; по этой причине я стараюсь избегать его, где только возможно. В коротких
заметках, в личных замечаниях, или в очерках вроде этого оно на своем месте.
13. Правильно используйте слова. Единицы информации, в порядке убывания, таковы: тема,
глава, абзац, фраза, слово. Раздел о местоимениях был посвящен словам, хотя, в
несколько более строгом смысле, он содержал рекомендации о стратегии стиля. Мой
следующий совет, как он звучит в заголовке, не следует понимать прямолинейно;
само собой разумеется, что слова надо использовать правильно. Но вот что я хочу
подчеркнуть: следует тщательно обдумывать и точно дозировать слова, взывающие к
здравому смыслу и интуиции, с одной стороны, и специальные математические слова
(технические термины), — с другой. Это может глубоко влиять на математический
смысл.
Общее правило: корректно пользуйтесь терминами логики и
математики. Я не призываю к педантизму и не предлагаю размножать технические
термины для понятий, на волосок отличающихся друг от друга. Наоборот, я имею в
виду мастерство настолько тонкое, чтобы оно не бросалось в глаза.
Вот пример: «Доказать, что какое-то (any) комплексное число
является произведением некоторого неотрицательного числа и числа с модулем 1».
У меня были студенты, которые доказывали это так: «–4i — комплексное
число; оно является произведением неотрицательного числа 4 и числа –i,
имеющего модуль 1; это и требовалось доказать». Дело в том, что в разговорном
английском языке слово «any» — двусмысленное; в зависимости от контекста оно
может отвечать либо квантору существования либо квантору общности. Вывод:
никогда не используйте слово «any» в математических сочинениях. Заменяйте его
на «every» или на «each» или переделывайте фразу.
Вот один способ переделать фразу предыдущего абзаца, данную
в качестве примера: условиться, что все «отдельные переменные» пробегают
множество комплексных чисел, а потом написать нечто вроде такого выражения:
"z $p $u [(p = |p|) Ù (|u| = 1) Ù
(z = pu)].
Я настоятельно советую не делать этого. Символика
формальной логики необходима в обсуждении логики и математики, однако в
качестве средства сообщения идей от одного смертного к другому она превращается
в громоздкий шифр. Автор должен сначала перекодировать свою мысль (я отрицаю,
что кто бы то ни было мыслит в терминах $, ", Ù
и т.п.), а затем читатель вынужден расшифровать написанное автором; оба шага
приводят к растрате времени и затрудняют понимание. Символическая запись, все
равно, в стиле современного логика или классического эпсилониста, — это текст,
который могут писать машины, и едва ли кто-нибудь, кроме машин, может этот
текст читать.
О слове «any» достаточно. А вот — другие нарушители,
которые, правда, обвиняются в меньших преступлениях: «где», «эквивалентно»,
«если... то... если... то». «Где» — обычно знак того, что автор нехотя подумал
о том, о чем должен был подумать заранее. «Если n достаточно велико, то
|аn|<e, где e — любое наперед заданное положительное число»; болезнь и
лечение от нее ясны. Слово «эквивалентный» для теорем — логическая
бессмыслица. (Под теоремой я подразумеваю математическую истину, нечто
доказанное. Осмысленное утверждение может быть неверным, но теорема быть
неверной не может: «неверная теорема» — внутренне противоречивый термин.) Какой
смысл говорить, что полнота пространства L² эквивалентна теореме о
представлении линейных функционалов на L²? Имеется в виду, что
доказательства обеих теорем — средние по трудности, и если одна из них (любая)
уже доказана, то другую можно доказать с относительно меньшими усилиями.
Логически точное слово «эквивалентный» здесь не годится. Оборот «если...
то... если... то» представляет собой стилистический прием, часто употребляемый
скорыми авторами и огорчающий медлительных читателей. «Если справедливо р,
то если имеет место q, то выполняется r». Логически тут все в
порядке (р Þ (q Þ r)), но
психологически на этом месте непременно споткнешься. Обычно нужно только
переделать фразу; однако, универсального способа переделать ее нет. Все зависит
от того, что важнее в данном конкретном случае. Можно так: «если p и q,
то r»; или «при условии p из предположения q следует вывод
r»; есть и многие другие варианты.
14. Правильно пользуйтесь техническими
терминами. До сих пор речь шла, по
существу, о логических аспектах стиля в математике. Теперь я хочу показать, что
такое ненавязчивая точность языка в повседневной работе математика на трех
примерах: функции, последовательности и включения.
Я принадлежу к школе, для которой функции и их значения —
настолько разные вещи, что это различие должно соблюдаться. Не надо суетиться,
по крайней мере на людях; просто старайтесь не произносить слова типа «функция z²
+ 1 — четная». Формулировка «функция f, определенная равенством f(z)
= z² + 1 — четная», или, что предпочтительнее с многих точек
зрения, «функция z ® z² + 1 — четная» немногим длиннее, но хорошая
привычка к ней порой спасает читателя и автора от грубых заблуждений и всегда
делает изложение более гладким.
«Последовательность» — это функция, область определения
которой является множеством натуральных чисел. Когда какой-нибудь автор пишет
«объединение последовательности измеримых множеств измеримо», он отвлекает
внимание читателя на ложный путь. В этой теореме совершенно неважно, что первое
множество является первым, второе — вторым и т.д.; слово последовательность
не относится к делу. Правильная формулировка такова: «объединение счетного
множества измеримых множеств измеримо» (или, если нужно иначе поставить акцент,
— «объединение счетного бесконечного множества измеримых множеств измеримо»).
Теорема о том, что «предел последовательности измеримых функций измерим» —
совсем другое дело; здесь слово «последовательность» на месте. Если читатель
знает, что такое последовательность, если у него это понятие в крови, то
неправильное употребление этого слова будет его отвлекать и замедлять чтение,
пусть совсем не намного. Если же читатель на самом деле не знает этого понятия,
то неправильное его употребление серьезно отсрочит окончательное понимание.
Страницы: 1, 2, 3, 4
|
|
