Курсовая работа: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне
Курсовая работа: Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне
Курсовая работа по информатике
Исполнитель: Солнцев П.В.
Санкт-Петербургский Государственный Технологический
Институт (Технический Университет)
Санкт-Петербург 2001
Введение
В решении любой прикладной задачи можно выделить три
основных этапа: построение математической модели исследуемого объекта, выбор
способа и алгоритма решения полученной модели, численная реализация алгоритма.
Цель данной работы – на примере исследования
распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные
методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных
исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.
Постановка задачи
Физическая модель
В ряде практических задач возникает необходимость
исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня,
помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование
может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры
в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической
модели.
В настоящей работе используются оба подхода.
Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой
поток с постоянной температурой , на концах стержня поддерживается постоянная
температура 0.
1.2 Математическая модель
Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью
стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения
температуры по стержню) мосле момента установления режима Т0.
Первая математическая модель использует
экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию регрессии и получают
статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням
x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).
(1.1)
Задача сводится к отысканию оценок неизвестных
параметров, т.е. коэффициентов a0 , a1 и a2 ,
например, методом наименьших квадратов.
Вторая математическая модель, также использующая
экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может
употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо
мала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui
Третья математическая модель основана на
использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x)
имеет вид:
(1.2)
где коэффициент теплопроводности, коэффициент теплоотдачи, D – диаметр
стержня, температура потока, в который помещён стержень.
Ищем U(x) как решение
краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:
(1.3)
на отрезке [-L|/2;L/2], где L –
длина стержня, постоянная температура, поддерживаемая на концах
стержня.
Коэффициент теплопроводности зависит
от температуры:
(1.4)
где начальное значение коэффициента теплопроводности, вспомогательный коэффициент.
Коэффициент теплоотдачи вычисляют
по формуле:
(1.5)
т.е. как среднее значение функции
за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь значение при t
стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.
Время Т0, по истечении которого
распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется
по формуле:
(1.6)
где а – коэффициент температуропроводности, наименьший положительный корень уравнения:
(1.7)
Задание курсовой работы
Вариант № 136
Исходные данные:
L = 0.0386 м
D = 0,00386 м
оС
оС
141,85 (Вт/м*К)
2,703*10-4
6,789*10-7
3,383*102 (Вт/м2*К)
218 оС
А =
3,043*10-5 (м2/с)
11
X, м |
U, oC
|
0 |
353 |
0,00386 |
343 |
0,00772 |
313 |
0,01158 |
261 |
0,01544 |
184 |
0,01930 |
74 |
2. Обработка результатов эксперимента.
2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.
Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки
коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие
минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных
значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е.
минимум величины S:
(2.1)
В нашем случае необходимым т достаточным
условием минимума S будут:
Где k = 0, 1, 2. (2,2)
Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:
(2.3)
Сумма
Система (2.3) примет вид:
(2.4)
В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4)
через “p”:
Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём
обратную матрицу p-1. В
результате получаем:
Подставляя в (2.1) найденные значения оценок
коэффициентов ак, находим минимальное значение суммы S:
Smin=0.7597
При построении доверительных интервалов для оценок
коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.
Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения
величины Ui независимы
и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией , которая неизвестна. Для имеющихся измерений
температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле:
Где r – число степеней свободы
системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и
количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.
Оценка корреляционной матрицы имеет вид:
Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов
найдём по формулам:
Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента
матрицы нормальной системы;
главный определитель нормальной системы.
В нашем случае:
S0=3.5438 10-22
S1=-8.9667 10-14
S2=6.3247 10-7
Откуда:
Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному
закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных
Ui.
Известно, что эти оценки несмещённые и
эффективные. Тогда случайные величины:
Имеют распределения Стьюдента, а r =
3.
Выбираем доверительную вероятность =0,9
и по таблице Стьюдента находим критическое значение равное 2,35, удовлетворяющее равенству:
Доверительные интервалы для коэффициентов:
(2.4*)
В нашем случае примут вид:
2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности
модели задачи регрессии.
Имеется выборка объёма n
экспериментальных значений (xi;Ui). Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией Мы выбрали функцию регрессии в виде:
Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом
второго порядка, т.е. функцией вида:
(2.5)
C
помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсии
отдельного измерения Ui для этих случаев:
Где r1 = 4
(количество точек – 6, параметра – 2).
Нормальная система уравнений для определения
новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:
(2.7)
Решая эту систему методом Гаусса, получим:
(2.8)
Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем
меньше для неё должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui,
т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором
дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между
функциями U(x) и U(1)(x) нужно проверить значимость различия между
соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверить гипотезу:
Н0 – альтернативная гипотеза
Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при
увеличении степени многочлена.
В качестве статического критерия рассмотрим
случайную величину, равную:
(2.9)
имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираем уровень распределения
Фишера, находим критическое значение F*, удовлетворяющее равенству: p(F>F*=
В нашем случае F=349.02, а F*=10,13.
Если бы выполнилось практически невозможное
соотношение F>F, имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0
пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом
, коэффициенты в котором неодинаковы.
3. Нахождение коэффициента теплопроводности .
Коэффициент вычислим
по формуле (1.5), обозначим:
(3.1)
Страницы: 1, 2
|
|