1 Понятие о равновесии.
Уравновешенная система сил. Равнодействующая системы сил. Силы внешние и
внутренние(в-2.,3.)
Внешние нагрузки:
Р
–сосредоточ (а<< h)
q – интенсивность
распределенной нагрузки. Равнодействующая = q*a
(площадь эпюры q) Преложена равн-щая в центре тяжести эпюры.
М – пара сил (сосредоточенный
момент)
Внутренние силы – это силы
взаим-ия м/д отдельными эл-ми конструкции, возник-ие под действием внеш сил
т.о. если Fвнеш отсутствует,
то Fвнут = 0.
R- главный вектор MR гл
векторный момент.
Nя-
продольная сила (раст\сжат)
Qx или упоперечная
(сдвиг\срез)
Мк (z) крутящий момент
(кручение)
Миз (х или у)изгуб-щий
момент (изгиб
чистыйМи≠0
поперечный Ми≠0 Q≠0
2 Аксиомы статики. Связи,
реакции связей.
1Если на свободное абс.
Твёрдое тело действует 2 силы, то тело может нах-ся в равновесии если эти 2
силы= и направлены по 1 прямой в противопол-е стороны. |P1|=|P2|
Равнов-е – это состояние
покоя или равномерного
движ-я
по отношению к
др.
телам.
2.Действие данной системы
сил на тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять
уравновешенную систему сил. Две системы сил отличающ-ся на уравнов-ую систему
наз-ся эквивалентными.
3.Равнодействующая 2 сил,
сходящихся
в 1-ой точке,
изображается диагональю
параллелограмма, построенного на этих силах.
4.III з-н Ньютона:
Всякое действие одного тела на др вызывает такое же по вел-не, но противопп-е
по направлению противодействие.
5.Любое не свободное тело
можно рассматр-ть как своб-ое, если мысленно отбросить связи и заменить их
реакциями. (Р-ция связи – это усилие, с которым опора препятствует
перемещению тела в опред. направлении. Р-я всегда противоп-на внешним
воздействиям.
6.Принцып отвердения:
Равновесие деф-ого тела, наход-ся под действием системы сил, не нарушается,
если считать тело абсолютно твёрдым. Все ур-я равновесия в статике будем
применять к свободному телу поэтому кроме заданных внеш сил необходимо опр и
прилож к нему р-ции связи.
Связи:
1)Свободное опирание тела на
связь
2)Гибкие
связи – это нити,
цепи, тросы,
работают на
растяж-е р-ции
напр вдоль нити
3)Жесткие
стержни,
работают на растяж\сжа
р-ции напр вдоль стержн
4)Шарнирно-подвижная
опора(1р-ция)
5)Шарн-неподвиж опора (2
реакции)
6)Жёсткая заделка (3
реакции)
3 Система сходящихся сил.
Главный вектор системы сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.
Система сходящихся сил
(2
или более сил, сход в
1
точке) может быть заменена 1-й силой, которая наз-ся равнодействующей ‾R∑(‾Pi). Урав-новешивающая сила R’= по модулю
равнодействующей, но напр по той же прямой в противоположную сторону.|R’|=|R|
опред равнодействующей:
1)Графическое суммирование
2) Аналитическое Ry=∑(Pi)=P1sin(a)+P2 sin90+Pnsin(b)- алгебр сумма проекций на осьОУ. Rz=∑(Pi)=P1cos(a)+P2 cos90+Pncos(b)- алгебр сумма проекций на осьОZ. R=√Ry2+Rz2
Любую систему сил
произвольно располож в плоскости можно заменить 1-й силой R
прилож-й в произвольном центре приведения О и 1-м моментом Мо. R-гл
вектор = векторной сумме сил, вход-х в систему или его проекций.Мо-
гл момент и = алгеб суммемоментов всех сил системы, взятых относительно
центра приведения иалгеб сумме пар сил, действующих на тело.
Мо=mo(P1)- mo(P2)+M1-M2
Условие равновесия плоской
системы сход-ся сил: необходимо и дост-но, чтобы равнодействующая системыR=0
а)при граф-ом суммировании
силовой многоугольник должен быть замкнут.
б)при аналитическом RyиRzдолжны=0.
Условие равновесия: R=0
(∑(Pi)z=0, ∑(Pi)y=0);
Mo=0 (∑mo(Pi)+∑Mi=0)
4 Момент силы
относительно точки. Пара сил. Момент пары сил. Сложение пар лежащих в одной
плоскости. (в-3)
Пара сил – это 2 силы = по
вел-не, параллельные и против-но направ-ные, не леж-щие на1-ой прямой.(при
этом равнод-щая R=0). М=Р*h,h-плечо М хар-ся
вел-ой и направл вращения.
Св-ва пар сил:
Две пары сил статистически
эквивал-
ны(оказывают на плечо одинак
действие), если их моменты =
М1=М2
если P1*h1=P2*h2
5
Пару сил можно переносить в
плоскости её действия в любое
6
1)Чистый изгиб Мизг≠0,
Q=0,N=0,Mк=0
2)Поперечный Мизг≠0,
Q≠0,N=0,Mк=0
По расположению силовой
плос-ти:
1)Прямой или плоскийили
простой – это когда силов плос-ть прох-т ч/з одну из главных центр-х осей
попер-ого сечения балки. Центр-е оси прох-т ч/з центр тяж-ти, главные оси-
оси симметр-ии или оси относ-но которых осевые моменты инерции Jx Jy имеют экстремальные знач-я Jx=∫y2dF
(поF) Jy=∫x2dF
(по F)
2)Косой изгиб- сложная
деф-я. Деф-ции не лежат в силовой плоскости
Внутр усилия опр-ся с
помощью метода сечений. Внут ус-я должны уравновеш-ть внеш воздействия.
Q=∑(Pi)y
Ми=∑mo(Pi)+ ∑Mi
Q-попереч сила в попер-м сечении балки численно= алгеб
сумме проекций всех внеш сил действ-х на левую или правую часть балки. Q=f(q,P) M-не
влияет на Q
Правило знаков:
Ми-изгиб-й момент
в попер-м сечении балки численно= алгеб сумме моментов внеш сил взятых
относит-но центра тяжести сечения и сумме сосредоточенных моментов
действующих по 1-у стороны от сеч-я. Ми=f(q,P,M) Q и Ми-могут
быть с разными знаками. Правило знаков:
Постр-е эпюр Q и
Ми:
1)Из условия равновесия
балки опр реа-ии опор которые явл такие же как и внеш нагрузки (для консоли
р-ии можно не опр-ть, часть с заделкой отбрасывают).
2)Балка разбив-ся на
отдельные уч-ки в пределах которых з-н изменения Q и Ми
одинаковый. (Границы берутся в точках прилож-я Р, М и в начале и конце q)
3)Сост-ся аналитич-ие выр-я
для Q и Ми для каждого из уч-ков.
4)По получ-м выр-ям
вычисл-ся ординаты эпюр на границах уч-ов
5)Если есть точки где Q=0
то опр-ся местный экстремум.
При движ-ии слева направо:
1)На уч-ах балки где Q>0
Ми-возрас-т
Где Q<0
Ми-убывает
2)Чем больше по абсол-й
вел-не знач-е Q тем круче круче линия огранич-ая
эпюру Ми. |Q|↑
то крут-на Ми↑
если Qi>Qj Mиi>Миj
αi>αj
3)На уч-ах балки на которых Q=const
эпюра Ми- прямая
4)В сеч-ях где Q=0
Ми- достигает экстремального знач-я.
27 Дифференциальные
зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе, их использование
для проверки правильности эпюр.
QI=Ra+P-q*z
МиI=Ra*z+P*(z-a)-q*z2/2+M
QII=Ra+P-q*(z+dz)
МиII=Ra*(z+dz)+P*(z+dz-a)-
-q*(z+dz)2/2+M
QII-QI=dQ
dQ=q*dz
q=dQ/dz
Производная от поперечной
силы по абсциссе сеч-я балки z(dQ)= интенсивности распред-ой нагрузки q.
МиII-МиI=dМи= Ra*(z+dz)+P*(z+dz-a)-
-q*(z+dz)2/2+M-
Ra*z-P*(z-a)+q*z2/2-
-M= Ra*dz+P*dz-q*z*dz-(q*d2z)/2
(q*d2z)/2→0
dМи= (Ra+P-q*z)*dz= =QI*dz Q=dМи/dz
Производная от изгибающего
момента Ми по абсциссе сечения балки = поперечной силе Q
28 Напряжения при чистом изгибе. Наиболее экономичные
формы поперечных сечений балок.
Ми≠0(чист из-б)
у-расст-е от
нейтрального слоя
до другого.
Справедлива гипотеза плоских
сеч-й.
Продольные линии при чистом
из-бе искривл-ся по дугам окруж-ти при этом волокна лежащие на оси балки не
меняют своей длины.
a'b’-удлинились
c’d’=cd
e’f ‘-укоротились
ρ-радиус изгиба
О-центр тяж-ти.
Совокупность волокон не
меняющих своей длины при изгибе наз-ся нейтральным слоем. Нейтр слой-цилиндр
поверхность с радиусом ρ. Линия перес-я нейтр слоя с плоскостью попереч
сеч-я наз-ся нейтр-ой осью. Линия перес-я силовой плоскости с плос-ю
попер-ого сеч-я наз-ся силовой линией и проходит ч/з центр тяж-ти попер-ого
сеч-я.
ε(относ удлин-е аb) =Δab/ab=bb’/cd
ac=y ε=(y*dθ)/(ρ*dθ)=y/ρ
ρ=const
т.к. γ=0, то
τ=0 т.к.ε≠0 σ≠0
ε=σ/Е σ
=Е*ε=Е*у/ρ
Предполагая что средние
волокна не давят друг на др можно сказать что каждое волокно испытывает
одноосное растяж/сжатие. Относит продольная деф-я ε и продольные
напряж-я σпри чистом изгибе измен-ся по высоте попереч сечения балки
прямо пропорционально расстоянию у от нейтр оси.
Сила действ-ая
на элемен-ую
площадку σ*dF
1)∑(Pi)x=0 тожд-
2)∑(Pi)y=0 ва
3)∑mz(Pi)=0 0=0
|
положение, а также можно
переносить в плоскость || плоскости её действия.Результат действия на тело
этой пары сил при этом не изменится.
Сложение пар сил, леж в
одной плоскости: равнодействующий момент = алгебр сумме моментов.
М=∑Мi.
Условие равновесия системы пар сил: необх и дост-но чтобы алгеб сумма всих
моментов =0. МR=∑Мi=0
Момент силы относ
точки= mo(Pi)=|P|*h
Следствия: 1)момент
силы относ любой точки,
располож-ой на линии действия силы =0
mo(Pi)=|P|*h т.к. h=0 <= mo(Pi)=|P|*h=0
2)Алге сумма моментов сил
образующ
пару, относ-но произвольной
точки, лежащей в плоскости пары, величина постоянная, равная моменту пары
сил.
P=P’
∑mo(Pi)=|P|*ОА–Р’*OB=P*(OA-OB)=
P*AB=P*h => mo=M
5 Теорема о параллельном переносе силы на плоскости.
Приведение сил к данному центру.(в-3,
4)
Силу Р можно ||
переместить в
любую точку О,
добавив при этом
момент
присо-единённой пары сил = моменту данной силы относительно точки приведения
О. Мпр= Р*h.
6Условия равновесия
произвольной плоской системы сил.(в-3)
7.Основные
гипотезы, лежащие в основе курса сопротивления материалов. Внутренние силовые
факторы, метод сечений.(в-1)
1Материал конструкции
однородный и сплошной т.е. его св-ва не зависят от формы и размеров тела и
одинак во всех его точках.
2.Мат-л конс-ии
изотропен,т.е.его св-ва по всем направлениям одинаковы. (99% мат-ов)
3.Мат-л обладает
св-вом идеальной упругости, т.е. способностью полностью восстанав-ть
первонач-ю форму и размеры после снятия внеш нагрузок(это справедливо для
напр-ий не превыш-их предел упругости).
4.З-н Гука: дефор-ция
мат-ла конструк прямо пропорциональна напряжениям
ε = σ / Е
γ = τ / G
E-модуль
Юнга(модуль упр 1-го рода) G-модуль упругости 2-го
рода. (З-н Гука справедлив до предела пропорциональности)
5.Деф-ции констр малы
и не влияют на взаимное расположение нагрузок.
6.Принцип
независимости действия сил (принцип наложения): результат воздействия на
конструкцию системы нагрузок= сумме результатов возд от каждой нагрузки в
отдельности
δ = δР+
δМ+ δq (справедлив
если выполняются 4и5 предпосылки).
7.Гипотеза плоских
сечений (Бернулли): поперечные сеч-я бруса, плоские до приложения, остаются
плоскими и после прилож-я нагрузки(справедлив для всех видов деф-ции).
8.Принцип Сен-Венана:
если не интересоваться местными деф-ми (в малой части объёма тела), то
нагрузку, прилож-ю к малой части объёма тела можно заменить статистически ей
эквивалентной или равнодействующей
если а<<L то:
Метод сечений: в
интересующем нас месте рассекаем брус; отбрасываем одну из частей бруса(лучше
ту, где больше внеш сил); взаимодейс-е частей бруса друг на друга заменяем
внутр усилиями, которые уравновешивают внешниесилы.
Σ(Рi)z=0
8
Понятия о напряжениях,
деформациях, перемещениях.
Напр-ем наз-ся внутр сила,
приходя-щаяся на ед-цу площади рассматриваемого сеч-я. Рсреднее=ΔR/ΔF
Pистинное= lim
ΔR/ΔF(приΔF→0) [H/м2=Па]
σz – (нормальное напряж-е) наз-ся составляющая полного
напяж-я перпендикулярная плоскости сеч-я.
τ(zx или zy)-
(касательное напряж-е) наз-ся составляющая полного напяж-я, лежащая в
плоскости сечения.
Плоская задача
Р=√σ2+τ2
N=f(σ)→σmax<=[ σ]
Q=f(τ)→τmax<=[ τ] условия
Mк=f(τ)→
τmax<=[ τ] прочности
Mи=f(σ)→
σmax<=[ σ]
Деф-ции:
1.линейные а)абсолютные
Δl=l1-l
Δh=h1-h[м,см]
З-н Гука в абсол вел-х:
Δl=N*l/(E*F)
–раст\сжатие
φ = Мк*l /(G*Jp) – кручение
k= 1/ρ= Mиз/(E*Jx) – изгиб
ΔS= Q*a / (G*F) –
сдвиг\срез
В этих 4-х формулах
знаменатель= жесткость сечения бруса.
б) относительные
ε=Δl/l ε=Δh/h
ε=σ/E (E- модуль Юнга)
2.угловые деф-ции γ
(угол сдви-га)=α+β, γ=τ/G(G-модуль
упр 2 рода)
Деф-я относится к отрезку
части бруса – это изменение его первоначальной длины. Перемещение (δ)
относится к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве
относительно какой-либо точки отсчёта. δi-I=Σ(Δli)
условие жесткости: δmax<= [δ]
9
Растяжение и сжатие.
Определение напряжений и деформаций. Закон Гука. Модуль упругости.
Центральным р\с наз-ся
деф-ция при которой в поперечных сечениях бруса возникает только 1-но внут
усилие- продольная сила N. Оно вызыв-ся силами действ-ми вдоль оси бруса.
Напряж-е τ =0 γ= 0
σ ≠ 0 = const
σi=Ni /Fi<=[σc],[σp]-
условие проч-ти.
Деф-ция: ε = σ / Е
- з-н Гука Δl/l=N/(F*E) Δl=N*l/(F*E)
Деф-я относится к отрезку
части бруса – это изменение его первоначальной длины.
Попереч деф-я:
ε'= - μ*ε ε’-относ
попер деф-я, μ- коэф
Пуассона, ε – относ
Продольная деф-я.
μ хар-ет способность
мат-ла к попер деф-м.
Δ b=ε’
* b
Перемещение (δ)
относится к сечению
4)∑(Pi)z=0 ∫σdF (поF)=E/ρ∫ydF(поF)=0
∫ydF- обознач-ся Sx и
наз-ся статисти-ческий момент сечения относ-но оси х
Sx=yц.т.*F
т.к.Е/ρ≠0, то Sx=0 Ось х прох-т ч/з центр тяж-ти.
5)∑my(Pi)=0 x- плечо σ*dF-
сила ∫x*σdF=E/ρ∫xydF
∫xydF= Jxy наз-ся центробежным моментом инерции сеч-я относ-но
х и у. Если он=0 то оси х и у явл-ся главными осями сеч-я.
6)∑mx(Pi)=0 ∫yσdF=Ми
Е/ρ∫у2dF=Ми ∫у2dF=Jx- наз-ся осевым моментом инерции сеч-я относ-но оси х
Е/ρ*Jx=Ми 1/ρ=Ми/(Е*Jx) – кривизна нейтр-ого слоя.
σ= Е*у/ρ=Е*у*Ми/(Е*Jx)= у*Ми/*Jx –
справедливо и для чистого и для попер
Наиб эконом формы попер сеч
балок:
1)Надо выбирать балки у котор
большая часть мат-ла удалена от центра тяж-ти. Выгодно:
2)Расположение балки делают
таким чтобы Jx=max
3)Выбор формы сеч-я зависит
от мат-ла. Для пластич мат-ла лучше использ-ть балки с симметр сеч-ми
относит-но нейтр оси у которых σmax pас=σmax сж
для хрупк ассиметр сеч-я при этом сеч-я располагают так
чтобы
σmax pас<=σmax сж
т.к. [σсж]=(3-5)*[σрас]
29 Условие прочности при
изгибе. Подбор размеров поперечных сечений балок.
Усл проч-ти для симметр сеч-й относ-но оси х:
σmax pас=σmax сж=Ми*0.5*h/Jx=Ми/Wx Wx=Jx/y –наз-ся осевым моментом сопр-я при изгибе.
1)пластич мат-л: σmax =Ми/Wx<=[σ]
2)хруп мат-л: σmax =Ми/Wx<=[σрас]
Ассиметричные сеч-я:
σmax рас =Ми*ymax рас/Jx<=[σрас]
σmax сж =Ми*ymax сж/Jx<=[σсж]
30 Потенциальная энергия
деформации при чистом изгибе.
Авнеш=М1*θ1/2
dAвнут= - Ми*dθ/2
ρ – радиус крив-ны k
–кривизна
dz=ρ*dθ
dθ=dz/ρ
k=1/ρ=Ми/(Е*Jx)
dθ= Ми*dz/(Е*Jx) dA= - Ми2*dz/(2*Е*Jx) U= -Aвнут=
= -∫-Ми2*dz/(2*Е*Jx)=∫Ми2*dz/(2*Е*Jx) (от0 до L). – для попер изг-а Ми≠const.
Для чистого изгиба: Ми=const
U= Ми2*L/(2*Е*Jx)
31 Напряжение при
поперечном изгибе: нормальные и касательные.
Поперечный Мизг≠0,
Q≠0,N=0,Mк=0
σ= Е*у/ρ=Е*у*Ми/(Е*Jx)= у*Ми/*Jx –
справедливо и для чистого и для попер
Касат напряж в произвольной
точке попер сеч-я: τzy=τ=Qy*Sx/(Jxby)
Qy-попер сила в рассматр сеч-и Sx-статистич
момент относит-но нейтр-ой оси той части сеч-я, которая распол-на по одну
сторону прямой, провед-ой ч/з данную точку Jx-
момент инерции всего сеч-я относит-но нейтр оси by-ширина попер сечения на уровне рассматриваемой точки.
32 Дифференциальное
уравнение упругой линии балки, его интегрирование.
Перемещения: у- прогиб – это
перемещ-е точек оси балки по нормали её недеформированной оси.
max прогиб-это стрела прогиба. Условие жесткости: уmax<=[y]
[y]=(0.01-0.001)*L
θA-угол поворота попер сеч-я балки, буде считать его =
углу наклона касательной к оси z т.е. углу поворота оси балки. y=f(z) θA=tg θA
при α<<
θA=dy/dz=y’ Условие жесткости: θmax<=[θ] [θ]=(0.5-1)*град.
Изогнутая ось балки y=f(z)
наз-ся упругой линией балки. Расчёт балки на жест-ть позволяет опр-ть размеры
попереч сечения при которых перемещ-е не превышает установленные нормами
пределы.
Правило знаков: y>0-перемещ
вверх θ>0- поворот сеч-я против часовой стрелки.
Из матем-ки: k=1/ρ
=y’’/(1+(y’)2)3/2
Из сопромата: k=1/ρ
=Mи/(ЕJx )
Точное диф ур-е:
y’’/(1+(y’)2)3/2=
Mи/(ЕJx)
y’=θ→min т.к.y’-мал,то (y’)2-пренебре-
гаем. Получаем: y’’= Mи/(ЕJx)
Mи= y’’ЕJx- основное диф ур-е упругой линии балки.
y'’=d2y/dz2=dy’/dz
аналитическое решение: Mи= y’’ЕJx ЕJx=const ЕJxd(y’)=Mиdz
ЕJxy’=
∫Mиdz+C y’=θ=(∫Mиdz+C)/(
ЕJx)
ЕJx dy/dz= ∫Mиdz+C
ЕJx dy= dz(∫Mиdz+C)
ЕJx = ∫dz∫Mиdz+C*z+D
C и D- произвольные const их опр-ют
из условия операния балки.
yA=0 θA=0
yA=0 yB=0
33 Метод начальных
параметров вычисления перемещений при изгибе балок.
Для данного
напавления
все знаки +
1) ЕJxθ= ЕJxθ0+∑M(z-a)+(∑P(z-b)2)/2+
+(∑q(z-c)3)/6+…
2) ЕJxy=
ЕJxy0+ ЕJxθ0z+(∑M(z-a)2)/2+
+(∑P(z-b)3)/6+ +(∑q(z-c)4)/24+…
1)справедливы для балок с
постоян жёсткостью ЕJx=const 2)Необходимо иметь только расчётную схему 3)Если q
имеет разрыв непрерывности до сечения т.е.
то берутся дополнит
слогаемые в 1-е: -(∑q(z-d)3)/6, во 2-е: -(∑q(z-d)4)/24
∑-алгеб сумма 4) y0
и θ0 опред-ся из условия операния балки.
34 Понятие о напряжённом
состоянии в точке. Главные площадки и главные напряжения.
Объёмная деформация. (В-12)
Объёмное или 3-х осное напяж
сост
σ1≠0
σ2≠0
σ3≠0
Объем деф-я х-ся изменением
объёма
υ=(V1-V0)/V0 υ-относит изменение объёмаV1-объем после деф-ииV0-до
деф-ии
|
бруса- это изменение его
положения в пространстве относительно какой-либо точки отсчёта. δi-I=Σ(Δli)
условие жесткости: δmax<= [δ]
E- модуль Юнга- модуль упругости 1-го рода (модуль
продольной упр-ти) Естали=2*105МПа.
10
Потенциальная энергия
деформации при растяжении, сжатии.
Элементарная dАвнеш=P*dδ P=f(δ) Δl=δ=P*l/(E*F) P=E*F*δ/l dA=(E*F*δ/l)*dδ Aвнеш=
Работа внеш сил выражается
площадью диаграммы построенной в коор-х Р*δ и равна половине
произведения окончательной силы Р и перемещения δ.
dAвнут= - N*Δ(dz)/2
Δ(dz)=N*dz/(E*F)
dAвнут= -N2*dz/(2*E*F)
Aвнут=-N2*dz/(2*E*F)
Aвнут= -N2*l/(2*E*F)
Потен эн-я деф-ии
наз-ся вел-на = работе внутр сил взятых с противопол знаком:
U= - Aвнут=N2*l/(2*E*F), U=N2*dz/(2*E*F) Aвнут= -Авнеш,
U=Aвнеш
11
Эпюры продольных сил,
напряжений и перемещения при растяжении, сжатии.
Разбиваем брус на
уч-ки границы кот-х нах-ся в точках прилож-я сосред-х сил
0<=z1<=a
a<=z2<= a+b
Для каждого из уч-ов опр-ем
вел-ну продольной силы N (в пределах уч-ка N=const)
N1=P1 N2= - P2+P1строим
эпюру прод сил.
Для каждого из уч-ов опр-ем
напряж-е: σi=Ni/Fi
Для кажд уч-ка опр-ем абсол
деф-ю:
Δli=Ni*l/(E*Fi) и опр-ем перемещ-я (Перемещение (δ) относится
к сечению бруса- это изменение его положения в пространстве относительно
какой-либо точки отсчёта. δi-i=Σ(Δli)
12
Одноосное напряженное
состояние. Определение напряжений в наклонных площадках. Закон парности
касательных напряжений.
Напряж-е сост-е в точке
хар-ся совокупностью напряж-й возникающ-х на бесконеч-ом множестве произ-но
ориентированных площадок произ-но проведённых ч/з эту точку. Напряже сост
хар-тся 9 компонентами σx σy
σz τxy τxz τyx τyz τzx τzy
Главные площ-ки τ=0
х-ся 3 комп-ми: σ1 >σ2 >σ3(в
алгебр смысле). Направлении┴ глав площ наз-ся глав-
ми напр-ми Деф-ии┴
глав площ наз-ся глав-ми деф-ми
Линейное или
одноосное напр сост:
σ3или1≠0,
σ2=σ1или3=0
Fα=F/ cosα
1) ∑(Рi)площадка=0
σα*Fα
–σ1*F*cosα=0
σα* F/ cosα –σ1*F*cosα=0
σα=σ1*cos2 α
2) ∑(Рi)площадка=0 τα*Fα –σ1*F*cosα=0
τα* F/ cosα –σ1*F*cosα=0
τα=σ1*cos α * sin α = 0.5* σ1* sin 2α
τmax|α=45= σ1/2 τmin| α=0, α=90= 0
σα+π/2=σ1*cos2(α+π/2)=
=σ1*sin2α
т.о.
σα + σα+π/2= σ1*cos2α +
+ σ1*sin2α = σ1
т.о. сумма на 2-х
взаимоперпендикуля
площ-ах = σ1
τα+π/2=0.5*σ1*sin2(α+π/2)=0.5*σ1sin(2α+
+π)= - 0.5*σ1sin(2α)
τα+
τα+π/2=0.5*σ1sin(2α)-
0.5*σ1sin(2α)=0
З-н парности кас напряж: на
2-х взаимоперпендик площ-х действуют = по вел-не и обратные по знаку
касательные напр-я (τ).
τxy= - τyx
τzy= - τyz
τxz= - τzx
13
Деформации продольные и
поперечные. Коэффициент Пуассона. (в
–9)
14
Расчёты на прочность при
растяжении/сжатии. Условия прочности.
N=f(σ)→ σi=Ni/Fi<=[σ]–для пластично
σic<=[ σс] σiр<=[ σр] –для хрупкого
15
Испытания материалов на
растяжение. Диаграмма растяжения пластичного материала механические
характеристики.
16
Испытания хрупких
материалов на растяжение/сжатие, механические характеристики.
17
Допускаемое напряжение,
коэффициент запаса прочности.
Т.к. детали и
сооруж-я должны безопасно работать и при неблагоприят условиях, то напряж-я
должны быть ниже тех предельных напряж-й при которых может произойти
разрушения или возник-ть пластич дефор-ции. Т.о.
[σ]= σu/n [σ]-допускаемое напяж-е
σu- предельное напяж-е материала
n – нормативный коэф запаса прочности (коэф
безопасности). Коэф запаса проч-ти вводится для того чтобы обеспечить
безопасную, надёж работу сооружений и отдельных его частей. Вопрос о “n”
решается с учётом имеющегося опыта эксплуатц.
18
Чистый сдвиг. Закон Гука.
Модуль сдвига. Напряжения и деформации.
Чистый сдвиг – напряж сост-е
если на гранях эл-та действует только τ. Площ-ки на которых действует
только τ наз-ся площ-ми чист сдвига. Q≠0 (Qx или Qy) Q=f(τ). Практические деф-ции сдвига/среза возник-ет
когда брус нагружен 2-мя равными силами действующие на малом раст-ии друг от
друга ┴ оси бруса и навстречу друг другу.
Напр-я: Q=P τ
= Q/F (т.к равномерно распред-ны по сечению)
Деф-ия: γ – угловая
деф-я γ= tgγ ΔS (абсолют
деф-я)= γ*a γ =τ/G
V0=1
l1=l2=l3=1
для ед длины:ε1=Δl1/l1= Δl1/1= Δl1 =>
V1= (1+
ε1)* (1+ ε2)* (1+ ε3)=1+
+ε1ε2+…+ ε1 ε2
ε3+…+ ε1+ ε2+ ε3
Т.к деф-ии малы то
произвед-ями ε1ε2+…+ ε1
ε2 ε3ε2+…можно
пренебречь.=> V1= 1+
ε1+ ε2+ ε3
υ=(V1-V0)/V0=(1+ ε1+ ε2+ ε3-1)/1=
ε1+ +ε2+ ε3
ε1= ε11
+ε12 +ε13=1/Е*(σ1-μ*(σ2+σ3))
ε2= ε21
+ε22 +ε23=1/Е*(σ2-μ*(σ1+σ3))
ε3= ε31
+ε32 +ε33=1/Е*(σ3-μ*(σ1+σ2))-
обобщенный з-н Гука для объем н.с. υ=(1-2μ)*(σ1+σ2+σ3)/E
35 Обобщённый закон Гука.
Обобщ з-н Гука – это
зависимость м/д деф-ми и напяж-ми при плоском и объёмном напр сост. Предпосылки
для вывода: 1)используем з-н Гука для одноосного н.с.: ε=σ/Е
2)связь м/д продольными и попереч деф-ми:
ε’= -μ*ε
3)принцып наложения (независимости действия сил)
1)Для плоского н.с.:
ε12 1-направление
деф-ии 2-причина деф
ε11= σ1
/Е ε22= σ2 /Е
ε21=
-μ*ε11= -μ* σ1 /Е
ε12= -μ*ε22=
= -μ* σ2
/Е =>
ε1= ε11
+ε12= σ1 /Е - μ* σ2 /Е=
=1/E *(σ1-μσ2)
ε2= ε22 +ε21= σ2 /Е - μ* σ1 /Е=
=1/E *(σ2-μσ1)
2)Для объёмного н.с.:
ε1= ε11
+ε12 +ε13=1/Е*(σ1-μ*(σ2+σ3))
ε2= ε21
+ε22 +ε23=1/Е*(σ2-μ*(σ1+σ3))
ε3= ε31
+ε32 +ε33=1/Е*(σ3-μ*(σ1+σ2))
(и В-34)
36 Удельная потенциальная
энергия деформации, её представление в виде энергий изменения формы и объёма.
ε1= ε11
+ε12 +ε13=1/Е*(σ1-μ*(σ2+σ3))
ε2= ε21
+ε22 +ε23=1/Е*(σ2-μ*(σ1+σ3))
ε3= ε31
+ε32 +ε33=1/Е*(σ3-μ*(σ1+σ2))
удельная потенц энергия ер=U/V0
Полная энергия U=∫ерdV(по
V)
V0=1 ер=U/1=U= - Aвнут= - (Aвнут 1+
+ Aвнут 2+ Aвнут 3)
Aвнут 1= -
(σ1* ε1)/2 Aвнут 2= - (σ2* ε2)/2 Aвнут
3= - (σ3* ε3)/2
ер=(σ1*
ε1)/2+(σ2* ε2)/2+(σ3*
ε3)/2
подставив ε1
ε2 ε3 получим:
ер=
ер= ерформоизменения+
еробъёмоизменения
ерф
зависит от угловых деф-ий
еро
зависит от линейных деф-й сторон
ерф=(1+μ)(σ12+σ22+σ32-σ1σ2-σ1σ3-
-σ2σ3)/3Е
еро=(1-2μ)*(σ1+σ2+σ3)2/6Е
37 Виды напряженных
состояний в точке. Плоское напряженное состояние, определение главных
напряжений. (В-12)
1)Прямая задача для плоского
н.с.:
σα=σ1*сosα+σ2*sinα
τα=((σ1-σ2)/2)*sinα
τmax|α=45=(σ1-σ2)/2
2)Обратная задача для плоск
н.с.
по σα
σβ τ найти σ1 σ2
а) tg2ψ0=2τ/(σβ-σα)-
положение
глав площ-ки
σ1(max)/3(min)= (σα-σβ)/2±(√((σα-σβ)2+4τ2))/2 вел-на глав напр-й
(+для σ1(max) -для
σ3(min))
б)для кручения
с изгибом
tg2ψ0=2τ/σ
σ1/3=σ/2±(√(σ2+4τ2))/2
(+для
σ1(max) -для
σ3(min))
38Понятия об эквивалентном напряжении и гипотезах
прочности.
1)линейное
н.с.(раст\сж, изгиб)
2)простое плоское
н.с.(кручение, срез)
3)сложное н.с.
Гипотезы проч
стремятся установить критерии проч-ти для мат-ла находящ-ся в сложном н.с.
При этом слож н.с. сводится к одноосному линейному н.с. которое обознач-ся
σэкв и явл-ся равноопасным заданным плос или объёмным
сост-м. σэкв выр-ся ч/з напряж-я σ1 σ2
σ3 т.о. σэкв=f(σ1
σ2 σ3) и устанавливается гипотезами прочн-и
σэкв<=[σ]-
условие проч при слож н.с.
I)гипотеза наиб-х нормальных напряж
σ1/3<=[σ]
(практикой не подтверждено)
II)гипотеза наиболь линейных деф-й
ε1/3<=[ε]=σ/E(практикой
не подтвержд)
III) Гипотеза max
касательн напряж-й
τmax(для слож н.с.)<=[τ](для линей н.с.) τmax =(σ1-σ3)/2 [τ]=[σ]/2
(σ1-σ3)/2<=[σ]/2
σ1-σ3<=[σ] =>
σэкв III= σ1-σ3 т.к. не уч-ет σ2
то погрешность сост≈ 15% прошла пров-ку временем но исполь только для
пластических мат-ов
IV)Гипотез энергии формоизменения:
Прочность мат-ла при
сложном н.с. обеспеч-ся если удельная потенц энергия формоизменения (ерф)
не превосходит допустимой ерф установленной для
одноосного н.с.
ерф(для
слож н.с.)<=[ерф](для линей н.с.
σэквIV==
=<=<= [σ] –самая применимая более всего
оправдавшая себя на практике применима для пластич мат-лов
Мора) σэкв М=
σ1 - ν σ3<=[σр] или
[σсж]
ν=[σр] / [σсж]
подтверж практикой применимо для хрупких мат-ов
Для плоского
н.с.(круч с изгибом):
σ1= σ3=
σэкв III=
σ1- σ3==
=<<=[σ]
σэквIV===
=
σэкв М=
σ1 - ν σ3=1/2*=
==
σэкв=Мприв/Wx<=[σ] Wx=0.1d3
|
ΔS=
τ*a/G=Q*a/(G*F) – з-н Гука в абс вел-нах, где G-
модуль сдвига (модуль упругости II рода) хар-ет способность
мат-ла сопротив-ся деф-ям сдвига.
Авнеш= -Авнут
U= -Aвнут= P*ΔS/2=
=Q* ΔS/2=
Q2*a/(2*G*F)
19
Кручение бруса с круглым
поперечным сечением. Касательные напряжения при кручении.
Δ l=0
σ =0 γ (угол сдвига)≠0
τ (кас напр)= G*γ
Кручением наз-ся вид деф-ии
при кот-м в поперечном сеч-ии возникает только 1-о внутр усилие – крутящий
момент (Мкр)
Внеш
скруч
мом-ы: Мскр
Мкi=
ΣMскр i Крутящий
момент = алгеб сумме внеш-х скруч моментов действующих по1-ну сторону от
сечения. Касатель напр-я: τ = G*γ
Мкр = f
(τ)
Справедлива гипотеза
Бернулли (о плоских и жест сеч-ях) Ось вала осталась прямолинейная. Геометр
размеры без изм-я.
γ-угол сдвига
образующей φ-угол закручивания или угол поворота попереч сечения.
r- радиус γmax=tg
γmax=NN’/dz=r dφ/dz γρ=
tg γρ=kk’/dz=
ρ dφ/dz τρ =G*dφ/dz*
ρ
dφ/dz=const
G=const G* dφ/dz=const
S=0 → τ=0
S= r → τmax
При круч-ии деф-ии сдвига
γ и кас напр τ пропорц-ны расстоянию от оси вала ρ. dMк= τρ*dF *ρ Mк=∫dMк(по F) = =∫ ρ *τρ*dF =
∫ ρ2*G (dφ/dz)dF=G* dφ/dz ∫ ρ2dF ∫
ρ2dF=Jp- полярный момент инерции поперечного сечения.
dφ/dz=Мк/(G*Jp)
τρ= G* ρ* Мк/(G*Jp)= Мк* S/Jp
Jp(для круга)=0.1*d4
Jp(пусто-ого вала)=0.1*D4*(1-c4) c=d/D
τmax=Мк*r /Jp= Mк/Wp<=[τ] –усл проч-и
Wp=Jp/r Wp – полярный момент сопротивления = отнош-ю поляр
моменту инер-ии к расст до наиболее удалённых волокон вала (r)
Wp (круг)= 0.2*d3
Wp(пустотел вал)= 0.2*D3*(1-c3) c=d/D
dφ =Мк* dz /(G*Jp) проинтегрируем обе части (правую от0доφ,
лев от0доL)
Мк/(G*Jp)=const φ= Мк*l/(G*Jp) – з-н Гука
Перемещ сеченя:
δφ=∑φi
Условие жесткости:
δφmax<=[φ]
Относит угол закр-я:
θ=φ/l= Мк/(G*Jp)
Услов жесткости: θ
<= [θ]
20
Полярный момент инерции,
полярный момент сопротивления круглого сечения. Угол закручивания при
кручении. (в-19)
21
Потенциальная энергия
деформации при кручении. Условия прочности и жесткости при кручении круглого
бруса.
Aвнеш=Мскр1*φ1/2
dАвнут= - Мк*φ/2
U= -Авнут=∫ Мк2*
dz /(2*G*Jp(от0 доL) U=Мк2* l/(2*G*Jp)
Перемещ сеченя:
δφ=∑φi
Условие жесткости:
δφmax<=[φ]
Относит угол закр-я:
θ=φ/l= Мк/(G*Jp)
Услов жесткости: θ
<= [θ]
τmax=Мк*r /Jp= Mк/Wp<=[τ] –усл проч-и
22
Испытание материалов на
кручение. Диаграмма кручения пластичного материала, механические
характеристики при кручении.
23
Расчёт на прочность
заклёпочного и болтового соединений.
d-диаметр отверстия dзак-диам заклёпк d≈dзак+(0.5-1)мм
1)Р-равномер распред-но м/д
заклёп (болтами) Q1-й зак=P/n n-число заклёпок
2)По плоскости среза τ
распед равном
τ=Q/F
условие проч-ти: τ=Q/F=4P/(nπd2)<=[τcp] [τcp]≈0.8[σ]
n>=4P/(πd2[τcp]) n-числ зек из расчёта на прочность.
Расчёт на смятие:
Fсмят=d*δmin
δmin-min толщина места. σсмят=Q/Fсмят=P/(n’dδmin)<=[σcм]<=2*[σ]
n’-число зак из расчёта на смятие
n’>=P/([σcм]*d*
δmin) из n и n’выбир >
24
Расчёт на прочность
сварных швов.
Для соед-я встык – расчёт на
обычное растяж\сжат: σ=P/Fшва<=[σ]
Соед-е внахлёст:
Шов хар-ся катетом:
АВ=ВС=δ=катет
На биссектрису дейст-ет
τмах. Ширина опасного сечения = 0.7*катет
Площади опасного сечения
швов:
Fлоб =b∑*0.7*кат-т Fфронт =l∑*0.7*кат-т
Допустимая нагрузка:
(l∑+b∑)*0.7*кат-т*[τ]>=P
25
Расчёт цилиндрических
винтовых пружин малого шага.
α<=10-12град
D-сред диамет
пружины
d-диам проволок
h-шаг
с=D/d-индекс пруж
с=4-12
n-число раб витков
nпол=n+1.5-2.5
λ-удлинение/осадка
в сечении 2 внутренних
усилия:
Q-поперечная сила, Мк-крутящ момен
Q=P Mк=P*D/2
Mк: τmax=Мк/Wp=P*D/2*Wp
Wp=π*d3/16 τmax =8PD/πd3
Q: τ=Q/F=4P/ πd2
Условия проч в опасной точке: τmax= τmax(Мк)+
τmax(Q)= 8PD/πd3+4P/ πd2= =(8PD+4Pd)/ πd3=
=8PD/πd3*(1+d/2D)<=[τ]
Если d/2D<=1/6,
то τmax=8PD/πd3<=[τ]
d>= λ=8PD3n/Gd4
хар-ка пруж-ы график P=f(λ)
k-жёсткост
k=P/ λ [H/мм]
26
Изгиб чистый, поперечный.
Внутренние силовые факторы при изгибе, построение их эпюр.
Изгибом наз-ся деф-я
сопровождающ изменением кривизны оси стержня.
Стержни раб-щие в основном
на изгиб наз-ся балками
Виды изгиба по внутр-м
усилиям:
dпроч=
39 Гипотеза max касательных напряжений (III
гипотеза прочности)(В-38)
40Гипотеза энергии
формоизменения (IV гипотеза прочности)(в-38)
41 Критерий Мора.(в-38)
42 Расчёт на прочность
круглого бруса при одновременном действии изгиба и кручения. (в-38)
1)строим эпюры
Мк1=0 Мк2=М
Ми1,2=Р*z1,2|0=0|L=P*l
2)опасные сечения:
Мк2=М Ми2=P*l
3)исследу-ые напр-я:
τmax(Ми)=Мк/Wp
σmax(Mи)=Ми/Wx
τmax(Q)=Q*Sx/(b*Jx)
4)опасная точ на
поверхности вала:
σ=Ми/Wx
τmax=Мк/Wp= Мк/2Wх
Wp=Jp/r=2*Jx/r Wx= Jx/r= Wp/2
Jp=
|