Реферат: Стандартный аукцион с участниками торгов, которые имеют ограниченные финансовые возможности (перевод)

Произвольно выбранный покупатель находится в этом наборе с вероятностью  Проблема, стоящая перед претендентом с (, v)  такая же самая, как если бы все претенденты были добровольны, с оценками, взятыми из распределения . Стандартный результат без ограничений бюджета (например, Riley и Samuelson (1981)) тогда подразумевает, что симметрическая функция предложения равновесия должна удовлетворить условию:

   для .                                        (6)

В существование  нет необходимости, однако, т.к.  зависит от   непосредственно. Следующее техническое предположение гарантирует существование единственной функции предложения равновесия.

Предположение 5. (N- l) w + (G (w, v)) / ( (w, v)) строго увеличивается в w для всех .[22]

Лемма 1. Согласно Предположению 5, существует единственное, симметрическое равновесие, в котором претенденты с минимумом  используют функцию предложения , где  удовлетворяет (6), и является непрерывной и строго возрастающей.

Согласно Лемме 1, P1-P4 удовлетворены. Чтобы устанавливать идеи относительно этой стратегии предложения цены, предположим, что есть два покупателя, каждый из которых имеет (w, v) взятых однородно на [0, 1]  , и не принимают никакой резервной цены. Тогда, стратегия равновесия добровольного типа предлагающего цену, определяется решением дифференциального уравнение

в . Его числовое решение графически изображено на Фигуре 2а Ла (см. кривую внизу), вместе с поверхностью, соответствующей равновесному предложению цены Фигуре 2b. Для сравнения, Фигура 2а также отображает стратегию, предлагающую равновесие, когда оценка претендента выбрана однородно на [ 0, 1 ], но ни один претендент не стоит перед обязательным ограничением . Очевидно, присутствие ограничений бюджета делает даже добровольных покупателей менее агрессивными.

C.   Доход и социальное активное сальдо        

Наши результаты из раздела 2 могут быть использованы, чтобы оценить действия альтернативных аукционов. Уравнение (6) подразумевает что  для всех . Это гарантирует, что первичный аукцион удовлетворяет точному единственному общему свойству относительно вторичного аукциона (см. Фигуру 3). Следующая оценка осуществляется непосредственно.

Суждение 1. Учитывая вторичный аукцион с резервной ценой , первичный аукцион с той же самой резервной ценой принесёт более высокое социальное активное сальдо, строго выше ожидаемого социального активного сальдо и строго выше ожидаемого дохода.

Фигура 2а

Фигура 2b

Доказательство. Резервная цена  влечет за собой  в первичном аукционе. Так как  для , первичный аукцион удовлетворяет точному единственному общему свойству относительно вторичного аукциона. Таким образом, результаты следуют из Теоремы 1 и Заключения. ||

Фигура 3

Оценки доход и активного сальдо можно объяснять различиями в степени, с которой ограничения бюджета стесняют участников аукциона. На вторичном аукционе, побеждающий претендент платит меньше чем его предложение (с вероятностью один), принимая во внимание, что победитель оплачивает своё предложение на первичном аукционе. Поэтому, при отсутствии ограничений бюджета, предложение выше на вторичном аукционе чем на первичном аукционе. Это означает, что ограничение бюджета, более вероятно,  стесняет участников на вторичном аукционе. В Фигуре  3, область типов  с ограниченным бюджетом строго больше на вторичном аукционе, чем на первичном аукционе. (То же самое предположение приводится в примере во Введении, где набор типов с ограниченным бюджетом был меньший на первичном аукционе, учитывая ту же самую резервную цену.) Если большее количество типов финансово ограниченны, тогда  менее вероятны предложения, которые отражают оценки претендентов. Таким образом, товар с меньшей вероятностью достанется претенденту, который оценивает это выше, что понижает социальное активное сальдо на вторичном аукционе. Увеличенная вероятность наличия претендентов с ограниченным бюджетом также уменьшает ожидаемый доход продавца. Так как ограничение бюджета больше ограничивает предложение на вторичном аукционе, эта форма аукциона приносит меньший ожидаемый доход.

Вышеупомянутый результат непосредственно уместен для правительственных аукционов, где и социальное активное сальдо и доход очевидно являются важными вопросами (смотри McMillan (1994)). В частности этот результат совместим с редко встречающимися устными аукционами.[23]  На частных аукционах, напротив, продавец  может не беспокоиться относительно социального активного сальдо, так что он может просто выбирать резервную цену, чтобы получить максимальный ожидаемый доход. Интересно, что та же самая оценка социального активного сальдо сохраняется даже в этом случае, т.к., как мы покажем ниже, продавец выбирает более низкую резервируемую цену на первичном аукционе чем на вторичном аукционе. Предположим, что в то время как увеличение запасной цены не оказывает никакого эффекта на предложения равновесия на вторичном аукционе, оно поднимает предложения равновесия добровольных типов на первичном аукционе. Последний эффект делает ограничения бюджета более плотными на первичном аукционе, так что продавец там имеет меньший стимул чтобы поднять резервную цену.

Суждение 2. Продавец, который хочет получить максимальную прибыль, выбирает резервируют цену на первичном аукционе немного ниже чем на вторичном аукционе (более точно если frs, является оптимальной на вторичном аукционе, тогда там существует   которая является оптимальной на первичном аукцион). Учитывая оптимальные резервные цены, ранжирования Суждения 1 сохраняются.

4. ПРИГОДНОСТЬ КРЕДИТА

Большинство покупателей имеет доступ к некоторой форме кредита или к другим источникам фондов. Общая функция стоимости расхода представлена в Разделе 2 соответствует ситуациям, когда претенденты, стоят перед финансовыми затратами, которые увеличиваются в процессе их оплаты. Мы покажем, что один из главных результатов Раздела 3 приводит к общим функциям стоимости: доход первичного аукциона  доминирует над вторичным аукционом. Теорема 2 снова позволяет нам получать оценку без того, чтобы определить равновесие полностью.

A.    Вторичные аукционы

Предположим, что продавец назначает резервную цену . Покупатель типа - (w, v) участвует тогда и только тогда когда . Для активного претендента с (w, v), это теперь доминирующая стратегия предложить самый высокий b, который удовлетворяет .[24] Более высокое предложение могло бы привести  к выигрышу  по цене выше чей-либо оценки, в то время как более низкое предложение могло бы привести к выше упомянутому выигрышу по цене ниже чей-либо оценки, без уравновешивающей выгоды если это не изменяется победителя. С этой стратегией равновесия, все основные свойства в Разделе 2 все удовлетворены.

Лемма 2. Согласно Предположениям 1-4, вторичный аукцион удовлетворяет P1-P4.

Рассмотрим претендента типа - (, v*), для любого . Мы теперь охарактеризуем набор типов, которые предлагают более низкие цены или не вступают в торги. В соответствии с Предположением 4, С () = для любого , так тип (, v*) имеет доминирующую стратегию предложения цены v*. Теперь рассмотриv произвольного претендента с (w, v). Если , то он не может быть претендентом типа - (, v*) Более точно,

     если .                                                 (7)

Мы используем (7) для сравнения дохода.

B.    Первичные аукционы

Решение участвовать аналогично для первичного аукциона. Если продавец назначает резервную цену , покупатель типа - (w, v) участвует тогда и только тогда когда . Предположим, что существует равновесие, при котором активные претенденты принимают непрерывную стратегию предложения цены, . Пусть , обозначает вероятность того, что предложение b побеждает в равновесии. Для всего (w, v) таких, что , функция предложения равновесия должна удовлетворить условию

                                               (8)

Это подходит для последующего анализа, чтобы установить следующую Лемму.

Лемма 3. Если существует равновесие с непрерывной стратегией предложения цены  то P3 и P4 удовлетворены. Кроме того,  строго возрастает  и дифференцируема внутри  диапазона предложений равновесия.

Рассмотрим добровольный тип , для любого . Если он предлагает  в равновесии, то, Лемма 3,

.                                                      (9)

Мы теперь охарактеризуем набор типов, которые предлагают меньше чем претендент типа - . Рассмотрим произвольного претендента типа - (w, v) с . Если он предлагает немного меньше чем b* в равновесии, тогда[25]

                               (10)

т.к. и p ' (b *) и p (b *) строго положительны, Лемма 3, (9) и (10) подразумевают что

                                          (11)

Стратегии предполагающие равновесие охарактеризованы как в Подразделе 3. Неравенство в (11) определяет набор  и  Равновесие добровольных претендентов, предлагающих стратегию , тогда неявно определено условием (6), использующим новую функцию распределения . Предложения цены стратегий для  типов с ограниченным бюджетом характеризовано условием (10), . Мы опускаем детали характеристики равновесия, так как необходимое условие (11) будет достаточно для нашего сравнения дохода.[26]

C.   Сравнение Дохода

Мы теперь готовы показать доминирование дохода первичного аукциона над вторичным аукционом. Положим . В свете Теоремы 2, это достаточно, чтобы  показать, что  для всех . Рассмотрим произвольно . Как показано выше, если тип  предлагает , то (w, v) должен удовлетворить (11). Предположим сначала что . Тогда, выпуклость  подразумевает

                                       (12)

Вместе с (11), (12) приводит к . Теперь предположим что . По условию (9) , что подразумевает что . Любой путь , и (7) подразумевает, что , что доказывает что . Этот последний результат подразумевает отношение стохастического доминирования, требуемого в Теореме 2. Поэтому, получена следующая оценка дохода.

Суждение 3. Относительно вторичного аукцион с резервной ценой , первичный аукцион с той же самой резервной ценой принесёт более высокий ожидаемый доход, чем вторичный аукцион. Оценка точна если функция C(b, w) строго выпукла при некотором предложении равновесия, предлагают , для некоторого w.

Доказательство. Слабая оценка дохода следует немедленно из преобладания стохастической собственности как показано выше. Строгая оценка получена следующим образом. Если C (b, w) – строго выпуклое в некотором предложении равновесия , для некоторого w, тогда там существует , такое что . Это предполагает что , следуя из вышеупомянутого доказательства. Теперь из-за непрерывности функции предложения равновесия в обеих формах аукциона, существует интервал, содержащий v* в который . Строгая классификация тогда следует из Теоремы 2.

Как было показано ранее, различия в том, как крайняя стоимость расхода победителя растёт с его предложением приводят к оценке. Это предложение может быть далее понято при сравнении со случаем с несклонными к риску претендентами (см. Holt (1980), Riley и Samuelson (1981), и Maskin и Riley (1984)). В этих документах, претендент имеет вогнутую по Ван-Ньюману-Моргенстерну полезность над его чистым активным сальдо.[27] Следовательно, риск, связанный с различием в чистом активном сальдо приводит к классификации дохода. На первичном аукционе, претендент несклонный к риску имеет стимул сгладить своё чистое активное сальдо  (разница между выигрышем и проигрышем). Он выполняет это,  предлагая цену более настойчиво. Напротив, предложения неподверженные принятию риска на вторичном аукционе. В нашей модели, претендент с выпуклой функцией оплаты имеет стимул сгладить свою оплату (между выигрышем и проигрышем). Таким образом, претенденты менее агрессивны в обеих формах аукциона, но более на вторичном аукционе, потому что оплата победителя случайна.[28]

5.    ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Мы изучили проведения первичных и вторичных аукционов, когда покупатели стоят перед финансовыми ограничениями. Наш результат таков, что вторичные аукционы приносят доход ниже ожидаемого и ниже социального активного сальдо чем первичные аукционы и предполагает, что последние не использовались, когда присутствуют ограничения. Этот результат исследований совместим с редким использованием устной формы аукционов на Американских правительственных аукционах (см. сноску 23).

Методика, которую мы развили, может применяться для широкого диапазона форм аукциона, для которых равновесие кривых изобид может быть охарактеризовано. Аукционы полной оплаты и другие мероприятия, которые требуют того, чтобы проигравшие платили, например плата за вход, могут изучаться с небольшим изменением нашей методики. Аукционы полной оплаты могут ослаблять ограничения бюджета,  распространяя платежи среди претендентов, так что они имеют тенденцию проводиться лучше, чем стандартные аукционы.[29] Использование входной платы на первичных аукционах имеет подобный эффект: если резервная цена заменена соответствующей платой за вход, ограничения бюджета облегчены, т.к. многие претенденты могут сами оплачивать маленькие суммы, скорее, чем единственный выигравший претендент, оплачивает большую сумму. Таким образом, ожидаемый доход увеличивается с использованием входной платы (Che и  Gale (1996b)).

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5