Реферат: Соотношение интуитивного и логического в математике

Рассмотрим один из важнейших, если не самый важный, тип математических умозаключений, причем сделаем это на простейшем примере, на примере арифметике. Выражение "дважды два равно четырем" используется, когда говорят о чем-то очень простом, элементарном. Это вроде бы ясно, и доказывать тут нечего. Первым пытался доказать это Лейбниц. Для этого необходимо ввести некие понятия (по сути - аксиомы), а именно понятие числа 1 и операции прибавления к некоторому числу х числа 1. Далее определяем числа 2, 3 и 4 следующими равенствами

2=1+1, 3=2+1, 4=3+1. Теперь определим операцию прибавления 2 следующим образом х+2=(х+1)+1. Заметим, что пока ничего содержательного не появилось, но при этом в определении новой операции неявно используется аксиома ассоциативности сложения. Иначе говоря, либо вводится эта аксиома, и тогда новая операция определяется однозначно, либо сначала определяется новая операция прибавления 2, и из нее получается ассоциативность сложения как свойство (а не как аксиома). Далее имеем цепочку равенств 2+2=(2+1)+1=3+1=4. Откуда и получим, что 2+2=4.  Таким образом, на основе формально введенных понятий мы доказали формальное(!) равенство. Вроде бы эти рассуждения может проделать и машина, с этим никто не спорит.

Но если спросить любого математика об этом доказательстве, то он скажет, что это рассуждение доказательством не является, это просто проверка. Грань между доказательством и проверкой очень тонкая, и если все математики ее чувствуют интуитивно, то далеко не все смогут ее точно определить. На самом деле проверка - это некое бесплодное рассуждение, где фактически мы просто проверили закон тождества, перевели предпосылки на другой язык. Истинное доказательство должно быть плодотворным, и вывод должен заключать в себе некое новое знание, чем посылка, которое берется не из новых введенных аксиом, а из самой творческой силы умозаключения.

Рассмотрим другое рассуждение, которое, по-видимому, лежит в самой основе математики. Пусть у нас есть некоторое высказывание, зависящее от n, например, что существует n-угольник, у которого 3 острых угла. Ряд силлогизмов будет выглядеть следующим образом

Это верно для n=3.

Если это верно для  n=3, то это верно для n=4.

Следовательно, это верно для n=4.

Если это верно для  n=4, то это верно для n=5.

Следовательно, это верно для n=5. и т.д.

Таким образом, мы получаем бесконечный ряд силлогизмов. Если мы хотим проверить наше утверждение для 10-угольника, то нам необходимо пройти все предыдущие этапы, и обосновать 7 силлогизмов. Для 100-угольника потребуется немного больше времени --- 97 силлогизмов. Тем не менее это время конечное. А вот если потребуется узнать, верна ли теорема для многоугольника с миллиардом углов, то жизни одного человека уже не хватит. Однако, как бы далеко мы не шли, мы никогда не дойдем до применимой ко всем числам теоремы, которая и есть предмет науки математика. Чтобы ее достигнуть, необходимо пройти бесконечный ряд силлогизмов, то есть надо перескочить бездну, сделать шаг, на который не способна формальная логика, и, следовательно, на этот шаг неспособна машина.

Орудием, которое

позволяет переходить от конечного к бесконечному, является математическая индукция, которая избавляет нас от ряда долгих и однообразных проверок, позволяя получить общую теорему. Надо сказать, что метод математической индукции для натуральных, а в последнее время и для трансфинитных чисел, включен в систему аксиом Пеано. Если задуматься, то это очень странный факт - ведь МЕТОД мышления включен в систему аксиом, он не может быть выведен из других аксиом - понятий при помощи логических законов. Причем еще в начале нашего века множество математиков пыталось создать систему аксиом без индукции (кстати, это же пытался сделать и сам Пеано, и великий Гильберт), но так или иначе, индукция возникала в скрытой, неявной форме.

Вторая странность заключается вот в чем. Если аксиома - это то, что нам очевидно, то надо сказать, что метод математической индукции имеет дело с бесконечностью, перед которой бессилен любой человеческий опыт. Это правило не доступно для аналитического или опытного доказательства или проверки. Но тем не менее, этот метод достаточно очевиден для мало-мальски образованного и подготовленного ума. Доказательством тому является тот факт, что в последние годы он входит в школьную программу для 10-11 классов, а наиболее подготовленные ученики осваивают его в 7-8 классе, причем интуитивно они начинают его применять примерно с 6 класса, и поэтому его логическую формулировку воспринимают достаточно легко. Здесь, по-видимому, сказывается  только утверждение могущества человеческого разума, который способен постичь общность бесконечного повторения одного и того же акта, даже в различных его вариациях. В силу этого могущества разум обладает непосредственной интуицией бесконечного и интуицией обобщения.

Еще один аспект проблемы индукции в математике связан с процессом конструирования. Имея простые понятия, математики строят более сложные совокупности или конструкции. Затем путем анализа этих сочетаний они возвращаются  к первоначальным объектам, раскрывая соотношение этих элементов и выводя отсюда отношение самих совокупностей. В этом процессе конструирования, которому всегда совершенно справедливо придавалось большое значение, некоторые хотели видеть необходимое и достаточное условие прогресса математики и вообще точных наук. Необходимость очевидна. А вот достаточность? Ведь для того, чтобы процесс конструирования был полезен, необходимо, чтобы конструкция несла в себе что-то новое по сравнению с составляющими ее элементами.  Например, для чего изучать многоугольники, с которыми несомненно, дело иметь гораздо труднее, вместо того, чтобы ограничиться изучением только треугольников? Ведь любой многоугольник может быть составлен из треугольников.

Делается это для того, чтобы получать и доказывать общие свойства многоугольников с любым числом сторон (например, оценка периметра через сумму диагоналей), которые можно применять затем в любом частном случае. Если же рассматривать многоугольник только как фигуру, состоящую из элементарных треугольников, то увидеть эти свойства удается только ценой значительных умственных усилий или интуиции, или не удается вообще.

Отсюда получается, что конструирование становится плодотворным тогда, когда его можно сравнивать с аналогичными конструкциями  того же родового понятия и когда есть возможность доказывать некоторые родовые свойства, не прибегая к проверке этих свойств для каждой конструкции. Для этого опять необходимо подняться от частного к общему, а это делается с помощью математической индукции.

 egincenter

 f

Два типа математического мышления

 ndcenter

Если ознакомится с работами различных математиков, то легко заметить, что существуют два сильно отличающихся типа математического мышления. Один из них можно условно называют геометрическим или европейским тип, а другой - алгебраическим или азиатским (ныне его также называют аналитическим стилем мышления). Конечно, подобные названия сильно условны, и появились, по-видимому, в связи с тем, что геометрия как школа и наука развилась в Европе (Пифагор, Евклид, Декарт, Лобачевский), а начало алгебре, уравнениям и т.д. было положено в трудах арабов Аль-Хорезми, Омара Хайяма и других. Само слово алгебра происходит от арабского слова аль-джебр.

Аналитики придерживаются в своих работах логической стройности, двигаясь вперед шаг за шагом. Обычно  они не пропускают без доказательства ни одной мелочи, аккуратно обосновывая каждый шаг. При этом общая идея доказательства может потонуть за нагромождением разного рода деталей. Чертежи или иного рода наглядные представления используются в работах аналитиков чрезвычайно редко.

Совершенно иная ситуация у математиков с

геометрическим стилем мышления. Их работы изобилуют рисунками, если это вообще возможно. Если нет, то по крайней мере они на словах пытаются

объяснить то, что представляется их внутреннему взору. При этом общие идеи доказательств обычно выписываются до строгой формулировки теорем, а иногда и вместо нее. Они не затрудняют себя доказательством мелких деталей.

Надо сказать, что условное деление на геометров и аналитиков вовсе не означает, что они занимаются именно той областью математики, которая вынесена в название соответствующего типа мышления. Это просто условное название того типа мышления, который присущ данным людям. Причем, видимо, эта склонность дается от рождения, а не формируется в результате воспитания или обучения, хотя в ходе этих процессов можно развить или подкорректировать эти склонности. Чтобы проиллюстрировать все вышесказанное примерами, обратимся  к свидетельству французского математика Анри Пуанкаре, записанной в его книге "Ценность науки". Я позволю себе процитировать довольно большой кусок, потому что он дает яркие примеры двух типов математиков, с которыми Пуанкаре был знаком лично.

"Так, Мере хочет доказать, что двучленное уравнение всегда имеет корень, или, говоря просто, что всегда можно разделить угол на части. Если есть истина, которую мы могли бы узнать непосредственной интуицией, то она здесь. Кто станет сомневаться, что угол всегда можно разделить на какое угодно количество равных частей, и чтобы доказать это, ему нужно несколько страниц. Напротив, посмотрите на Клейна: он изучает один из самых абстрактных вопросов теории функций; требуется узнать, всегда ли существует на данной поверхности Римана функция, допускающая данные сингулярности. Что делает знаменитый немецкий геометр? Он заменяет поверхность Римана металлической поверхностью, электропроводность которой меняется по известным законам, и соединяет две точки ее с двумя полюсами элемента. Ток, говорит он, непременно пройдет, и распределение этого тока по поверхности определит функцию, особыми свойствами которой будут именно те, которые предусмотрены условием. Без сомнения, Клейн знает, что он дал здесь лишь наглядный очерк; и все-таки он не задумался опубликовать его; вероятно, он надеялся найти здесь если не строгое доказательство, то по крайней мере как бы нравственную уверенность. Логик с ужасом отбросил бы подобную концепцию или --- вернее --- ему и не нужно было бы ее отбрасывать, потому что она никогда не могла бы возникнуть в его уме."

Аналогичная, даже еще более характерная ситуация сложилась в общей теории функций, особенно функций комплексного переменного. Основа этого направления заложена в работах двух немецких математиков, Вейерштрасса и Римана. Они жили примерно в одно время, и получили примерно одинаковое образования. Математическая одаренность каждого из них не вызывает никаких сомнений. Работали они примерно в одной области, но насколько разительно их подходы отличаются друг от друга! Если Вейерштрасс сводил все функции к аналитическим рядам и рассматривал далее операции и свойства числовых и функциональных рядов, то есть как будто сводил всю теорию функций к алгебре или даже арифметике, то

Риман прибегал к помощи геометрии и особенно топологии. Особенно интересно затронуть этот вопрос в свете того, что сама я лично была свидетелем очень яркого примера подобной классификации умов, и именно в этой области. Во время моего обучения в университете теорию функций комплексного переменного нам одновременно читали  два преподавателя: Леонид Эммануилович Медников и Александр Борисович Воронецкий. Естественно, они разделили темы, и каждый читал эту теорию с той точки зрения, которая ему ближе. Если Воронецкий имеет ярко выраженные черты аналитического склада мышления, то Медников, наоборот, ярко выраженный геометр и, естественно, читал топологическую часть, связанную с римановыми многообразиями. Воронецкий же читал часть, связанную с оценками, неравенствами, разложениями в ряды и т.д. В чем же еще было отличие? Всем моим одногруппникам нравились лекции Воронецкого, потому что он не пропускал ни одной детали, все у него было логически правильно построено, при этом записано на бумаге, весь текст он полностью переносил на доску. Отдельно были выделены определения, затем теоремы, доказательства и примеры. Лекции же Медникова, по общему мнению, слушать было еще можно, а вот запоминать или записывать - нет. Он не записывал на доске практически ни одной формулы, а рисовал множество картинок, поясняя общую идею доказательства и не вдаваясь в детали. При этом в принципе было невозможно понять, где доказательство теоремы, а где пример. На мой взгляд, он как бы моделировал творческую работу математика, процесс его размышлений над теоремами. Причем надо заметить и неоднозначную оценку студентами методов того и другого. Если мои одногруппники считали, что лекции Медникова не понятны и поэтому скучны, то для меня, наоборот, лекции Воронецкого казались загруженными ненужными деталями и поэтому скучными и сложными для понимания, а идеи доказательства, выраженные в картинках, я помню до сих пор, и до сих пор именно красота интуитивных идей делает для меня эти рассуждения простыми.  Иначе говоря, эти два отличия присущи не только великим умам, но и встречаются повсюду. Если аналитики не способны представлять в пространстве(а у мы, будучи студентами, подозревали, что Медников может представить четырехмерное пространство), то геометры не способны к длительным вычислениям и скоро в них путаются (именно сейчас, в ходе работы над диссертацией, у меня возникают серьезные проблемы со строгой записью доказательств. Надо ли говорить, что я считаю свой стиль мышления более геометрическим, чем аналитическим).  Оба рода умов одинаково необходимы для развития науки, оба делают те открытия и шаги, на которые неспособны другие.

 egincenter

 f

Роль интуиции в математике

 ndcenter

Но, раз уж мы говорим, что математические рассуждения ученых античности и нового времени грешат отсутствием логической строгости, там не доказаны казавшиеся очевидными факты, то означает ли это, что все эти ученые были по своему складу ума геометрами? Конечно, это не так.

Иначе пришлось бы заключить, что в древности природа создавала только геометров, зато в 19 веке и на рубеже 20 вдруг перевыполнила план по аналитикам. Например, если взять Евклида , про которого неизвестно ничего, кроме одного сочинения, в котором и излагается система его аксиом, то можно с уверенностью заключить, что этот человек --- аналитик. Только логик мог в античные времена вообще принять необходимость выделения в геометрии неизбыточной системы непротиворечивых  аксиом. С большой вероятностью можно утверждать, что сами аксиомы, принимаемые интуитивно, были высказаны другими учеными, тем более другими людьми доказаны теоремы геометрии. Но тем не менее эту геометрию мы называем евклидовой, потому что именно Евклид взял на себя труд обобщить и систематизировать разрозненные знания.

На сегодняшний день изменились не умы, а идеи. Сейчас от математиков, руководствуются они интуицией или логикой, требуется некий необходимый уровень строгости, и эта необходимость признана всеми. Какова же причина этого негласного соглашения? Она лежит на поверхности. Мало того, что интуиция, при всей ее творческой силе, не может дать нам строгости. Это еще полбеды. К сожалению, она не может дать достоверности знания, полученного с ее помощью.

Например, все мы имеем интуитивное понятие о

непрерывной функции как о функции, график которой представляется непрерывной линией. В то же время строгое определение непрерывности, на каком языке (топологическом, языке последовательностей, $ e- l$-окрестностей) его не формулируй, не может не содержать менее 5 предикатов, а нормальный, не занимавшийся математикой человек может понять сходу фразу, содержащую не более двух вложенных предикатов. Зачем тогда вообще нужно это строгое логическое определение? Но с помощью того интуитивного представления, которое мы имеем, представляя непрерывную кривую, мы получаем такое "доказательство": любая непрерывная функция имеет производную, так как любая кривая имеет касательную. В то же время известно,  что далеко не всегда непрерывность функции обеспечивает ее гладкость.

Интуиция нас "обманывает" ровно в силу того, что в математике мы имеем дело не с реальными объектами, а с идеальными. Мы не можем представить себе кривую, не имеющую толщины. В лучшем случае мы представляем не канат, а очень тонкую линию, но тем не менее предельного перехода чувственная интуиция совершить не может. Это необходимо остается на долю логиков.

Таким образом, необходима логическая строгость, а она

невозможна в рассуждениях, если ее нет в определениях. Таким образом, усилия логиков были направлены на сами начальные определения. Так, интуитивное понятие непрерывности сложилось в сложную систему неравенств. Понятие вещественного числа строго было определено только в 19 веке Дедекиндом, причем пришлось столкнуться с такими сложностями, что подобное определение изучают только ПРИ ПОЛУЧЕНИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ, и то только технические специальности. Очевидное интуитивное понятие натурального числа тоже формализовано только в 19 веке, и тоже с большими трудностями.

Естественно возникает вопрос: а закончилась ли эта эволюция строгости? Ведь не из лени и не из-за отсутствия внимательности предыдущие поколения математиков не добивались требуемой нынешним временем строгости.

Кстати, физики до сих пор оперируют в своих рассуждениях уровнем строгости такого сорта, что вызывают ужас у математиков. Результаты

экспериментов экстраполируются некоторой формулой, и если результаты последующих экспериментов хорошо ложатся в эту формулу, то она признается верной.  Кроме того, их не интересуют такие тонкие случаи, как поведение решений на границах и других множествах меры нуль, так как вероятность попадания туда равна нулю. В то же время математик не сочтет задачу решенной, пока не исследует поведение решения во всех точках, и, как правило, его интересуют именно тонкие случаи.

Древние считали свой уровень строгости достаточным. Не потребуют

ли наши потомки еще большего господства логики? Конечно, одной логикой обойтись нельзя, так как она сводит все к чистой тавтологии. Необходима интуиция. А что же вообще может пониматься под словом интуиция? Рассмотрим следующие утверждения:

1) Две величины, равные третьей, равны между собой;

2) Пусть теорема равна для n=1, и верно, что если она верна для n, то верна и для n+1. Тогда теорема верна для всех целых чисел;

3) Если точка С лежит на прямой между А и В, а точка D лежит между А и С, то точка D лежит между А и В;

4) Через две точки можно провести только одну прямую.

Все четыре высказывания являются аксиомами и должны быть приписаны интуиции. Тем не менее первое есть выражение формального логического закона (если заранее определено понятие равенства), второе есть выражение метода, называемого математической индукцией, третье есть апелляция  к геометрической или пространственной интуиции и к интуитивно понимаемому отношению "между", а четвертое утверждение есть фактически скрытое определение прямой. Иначе говоря, интуиция не есть обязательно свидетельство чувств человека. Есть несколько видов интуиции --- обращение к чувствам или воображению, интуиция обобщения, и, наконец, интуиция чистого числа, породившая арифметику и в дальнейшем всю математику. Первые две  не могут дать достоверности, но третья является основой математики, иначе говоря, сомневаться в ней означает сомневаться в арифметике. Сейчас в математике окончательно изгнана из доказательств интуиция первого рода, строго формализована интуиция второго рода. Остальное составляют силлогизмы и интуиция чистого числа. На современном уровне развития философии можно сказать, что в математике достигнута абсолютная строгость.

Страницы: 1, 2, 3