Реферат: Сложение колебаний
Реферат: Сложение колебаний
Реферат
На тему «Сложение колебаний»
Студента I –го курса гр. 107
Шлыковича
Сергея
Минск 2001
Векторная диаграмма
Колебаниями
называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во
времени.
Сложение
нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически
в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной
диаграммой.
Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся
величину x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с
осью угол α. Если привести этот вектор во вращение с угловой
скоростью ω0,
то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от —А до
+A, причем координата этой проекции будет изменяться со
временем по закону
Следовательно,
проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания
с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой
скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому
вектором с осью в начальный момент времени.
Таким образом,
гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна
амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный
начальной фазе колебаний.
Рассмотрим сложение двух
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.
Результирующее колебание будет суммой колебаний х1 и x2, которые определяются функциями
, (1)
Представим оба колебания с
помощью векторов A1и А2. Построим
по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На
рисунке видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов:
Поэтому, вектор A представляет собой результирующее колебание. Этот вектор
вращается с той же угловой скоростью ω0,
как и векторы А1 и А2,
так что сумма x1 и х2 является гармоническим колебанием с
частотой (ω0, амплитудой A и
начальной фазой α. Используя теорему косинусов получаем, что
(2)
Также, из рисунка видно, что
(3)
Представление гармонических колебаний с
помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением
векторов, что значительно проще.
Сложение колебаний во взаимно
перпендикулярных направлениях.
Представим две взаимно
перпендикулярные векторные величины x и y, изменяющиеся со
временем с одинаковой частотой ω по гармоническому закону, то
(1)
Где ex и eу — орты координатных
осей x и y, А и B — амплитуды
колебаний. Величинами x и у может
быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия.
В случае колеблющейся
частицы величины
, (2)
определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид
которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (2) представляют
собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы
получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2)
параметр t. Из первого уравнения
следует, что
(3)
Соответственно (4)
Развернем косинус во втором из уравнений (2) по
формуле для косинуса суммы:
Подставим вместо cos ωt и sinωt их значения (3) и (4):
Преобразуем это уравнение
(5)
Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно
координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси
зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз α.
Попробуем найти форму траектории для нескольких
частных случаев.
1. Разность фаз α равна нулю.
В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом:
Отсюда получается уравнение прямой:
Результирующее движение является гармоническим
колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой, равной (рис. 1 а).
2. Разность фаз α равна
±π. Из уравнение (5) имеет вид
Следовательно, результирующее движение представляет
собой гармоническое колебание вдоль прямой
(рис. 1 б)
Рис.1
3. При уравнение
(5) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:
Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам
колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в
окружность.
Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или
окружности.
Следовательно, равномерное
движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω может быть
представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
,
(знак плюс в выражении для у соответствует
движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).
Если
частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории
результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами
Лиссажу.
Фигура Лиссажу для
отношения частот 1:2 и
разности фаз π/2
Фигура
Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз π/2
|