Реферат: Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Реферат: Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Курсовая работа по сеточным методам
Студент: Смирнов А.В.
Московский Государственный Технический Университет им.
Н.Э. Баумана
Москва 2002
Постановка задачи
Рассчитать
установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму
криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).
К
внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью .
На внутренних границах конструкции происходит теплообмен со средой,
характеризующийся коэффициентом теплообмена и температурой
среды . Коэффициент
теплопроводности материала пластины
Рис.
1Решение
Введем
декартову систему координат , выбрав начало координат и направим
оси x и y так, как показано на
рис.2.
Рис.
2
Задача
теплопроводности в пластине запишется в виде
(1)
(2)
(3)
где
- направляющие косинусы
вектора внешней нормали к граничной поверхности, -
граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентом
теплообмена , -
граничная поверхность, на которой задан тепловой поток плотности .
Решение
уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменить задачей поиска
минимума функционала
.
(4)
Решать
поставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этого
сначала проведем триангуляцию нашей области.
Триангуляция.
Результат
триангуляции представлен на рис.3.
Рис.
3
Все
выбранные узлы заносятся в список, который содержит информацию о координатах
узлов. Номер узла определяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем
вести еще список треугольников. В глобальном списке треугольников будет
храниться информация о каждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3)
трех узлов, составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника
определяется его номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника
границе может принадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то
вершины, которые она соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2). Обход треугольника
совершается против часовой стрелки.
Метод конечных элементов
Выберем
произвольный треугольник (с номером e). Обозначим его
вершины и . Каждому
узлу треугольника поставим в соответствие функцию формы
,
(5)
где
, A
– площадь треугольника. Тогда температуру в пределах треугольника можно
определить с помощью функций форм и значений температуры в узловых
точках
.
(6)
Функционал
(4) можно представить в виде суммы функционалов , каждый из которых
отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e
.
(7)
Минимум
функционала (4) находим из условия
(8)
Функционал
можно представить в виде
(9)
Здесь
, глобальный вектор
температур , -
матрица градиентов, которая для функций формы (5) примет вид , .
Локальный вектор температур . Здесь матрица
геометрических связей имеет размерность .
Элементы этой матрицы определяются следующим образом: ; все
остальные элементы равны нулю.
Продифференцируем
функционал (9):
Из
выражения (8) с учетом последнего соотношения получаем , где
матрица теплопроводности элемента ; вектор нагрузки элемента .
В
силу особенностей проведенной триангуляции можно выделить три группы конечных
элементов. В первую входят треугольники, у которых сторона i
– j принадлежит одной из внешних границ. Во вторую –
те, у которых та же сторона принадлежит одной из внутренних границ. И, наконец,
третью группу составляют элементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой
области.
В
зависимости от того, к какой группе принадлежит конечный элемент с номером e, матрица и вектор будут
определяться несколько различным образом.
Обозначим
.
Поверхностные
интегралы можно посчитать с помощью относительных координат . Отрезки,
соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его
вершинами, разбивают этот элемент на три треугольные части площадью .
Координаты определяются из соотношений .
Используя
относительные координаты, можно получить следующие соотношения:
Если
конечный элемент с номером e принадлежит к первой
группе, то . Если ко второй, то .
Наконец, если элемент принадлежит к третьей группе, то .
Вектор
температур, удовлетворяющий условию (8) минимума функционала (4), находим
решением системы линейных алгебраических уравнений
,
(10)
где
глобальная матрица теплопроводности K и глобальный
вектор нагрузки F определяются по формулам
,
. (11)
Для
решения задачи (10) применялся следующий алгоритм:
Вычисление
разложения матрицы ().
Оценка
числа обусловленности. Если число обусловленности больше (
определяется точностью вычислительной машины), то выдается предупреждение, так
как малые отклонения в коэффициентах матрицы могут привести к
большим отклонениям в решении.
.
.
Реализация
описанного выше метода проводилась на языке программирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные
результаты данной работы приведены на рис.4 - 7.
Рис.4
Рис.5
Рис.6
Рис.7
Список литературы
Амосов
А.А, Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб.
пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.
Сегерлинд
Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
Станкевич
И. В. Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).
|