Реферат: Перемешивание жидкостей

Реферат: Перемешивание жидкостей

Джулио М. Оттино

Простое двумерное периодическое движение вязкой жидкости может стать хаотическим, что приведет к эффективному перемешиванию. Эксперименты и компьютерное моделирование проясняют механизм этого явления

Что общего между катастрофическим извержением вулкана Кракатау, изготовлением слоеного теста и яркостью звезд? Везде в той или иной степени присутствует перемешивание. Интенсивное перемешивание магмы могло инициировать извержение Кракатау; разминание и вытягивание — операции, лежащие в основе любого перемешивания, — производятся при замесе слоеного теста, а перемешивание вещества внутри звезды определяет ее химический состав и яркость. Примеры перемешивания можно обнаружить буквально всюду во Вселенной. Временные и пространственные масштабы этих явлений меняются в огромных пределах. Газ, попадающий в атмосферу, смешивается с окружающим воздухом за считанные секунды, тогда как процессы перемешивания в мантии Земли длятся несколько сотен миллионов лет и даже больше.

Перемешивание имеет также решающее значение в современной технологии. Оно позволяет химикам контролировать химические реакции для производства полимерных материалов с уникальными свойствами и распределять добавки, уменьшающие вязкое трение в трубопроводах. Однако, несмотря на вездесущность как в природе, так и в производстве, процесс перемешивания до сих пор остается до конца не ясным. Исследователи в разных областях не могут пока даже установить общую терминологию для него и используют разные названия.

Несомненно одно — процесс перемешивания является чрезвычайно сложным и обнаруживается в самых разнообразных системах. При создании теории перемешивания приходится рассматривать, например, растворимые и частично растворимые, химически активные и инертные жидкости, медленные ламинарные потоки, а также быстрые турбулентные потоки. Поэтому неудивительно, что не существует единой теории, способной детально объяснить процесс перемешивания в жидкостях, и что прямыми вычислениями невозможно охватить все важные аспекты этого явления.

Тем не менее определенная информация о процессе перемешивания может быть получена как с помощью физических экспериментов, так и с использованием компьютерного моделирования. В течение последних лет мои сотрудники и я пытались использовать оба подхода для изучения различных аспектов этого процесса, особенно перемешивания в медленных потоках и вязких, маслоподобных жидкостях.

Хорошим примером служит смешивание двух масляных красок. Буквально через несколько секунд получается красочная картина вытянутых и искривленных полос. (Иногда такой «мраморный» рисунок используют для украшения обложек и последних страниц книг.) Если же их целенаправленно не перемешивать, то между узорами из полос могут остаться несмешанные «островки» чистых красок. При перемешивании вязких жидкостей могут получаться не только необычно сложные, но и в некоторой степени регулярные и когерентные структуры.

Вместе со студентами Массачусет-ского университета в Амхерсте мы проводили исследования для выяснения характеристик потоков, в которых возникают подобные структуры. Они включали эксперименты и компьютерное моделирование процессов, напоминающих перемешивание двух красок. В некоторых экспериментах в бесцветный глицерин, находящийся в глубокой полости, вводились капли окрашенного глицерина. Когда стенки полости приводились в периодическое движение, в такой вязкой жидкости возникали сдвиговые силы, которые могли весьма причудливым образом вытягивать и изгибать окрашенную каплю. Довольно скоро внутри полости появлялась сложная картина складок, которые в свою очередь образуют складки. Однако такая же капля в точно такой же прямоугольной полости могла почти не испытывать вытягивания, а лишь смещаться и поворачиваться, но при этом периодически возвращаться в первоначальное положение. В чем причина такого разного поведения?

Основы механики жидкостей

Ключом к пониманию основных аспектов смешивания является концепция «движения» — идея, восходящая к XVIII в. и связанная с именем известного математика Леонарда Эйлера. «Движение» жидкости описывается математическим выражением, показывающим, в какой точке пространства будет находиться каждый элемент жидкости в любой момент времени в будущем. Если «движение» для данного потока известно, то в принципе можно узнать почти все и о перемешивании, которое этот поток может произвести. Например, можно вычислить силы и полную энергию, необходимую для достижения нужной степени перемешивания в системе.

В прошлом веке такой подход сменился описанием через поле скоростей жидкости, когда задается выражение для скорости в каждой точке потока в любой момент времени. Однако, зная «движение», можно легко вычислить поле скоростей, тогда как знание поля скоростей не позволяет явно вычислить «движение». Поскольку описание потока через «движение» жидкости является более фундаментальным, мои сотрудники и я предпочитаем работать, придерживаясь этой концепции, хотя многие могут считать ее устаревшей.

Рис 1. ХАОТИЧЕСКИЙ И НЕХАОТИЧЕСКИЙ потоки. Снимки получены К. Ленгом и автором статьи в Массачусетсом университете в Амхерсте. Полость прямоугольной формы заполнена глицерином, непосредственно под поверхность которого были введены две пробные капли, флуоресцирующие красным и зеленым светом (вверху). Каждая стенка полости может независимо от других перемещаться параллельно самой себе. В этом эксперименте верхняя и нижняя стенки совершали периодическое прерывистое движение.

Верхняя стенка в течение некоторого времени двигалась слева направо и затем останавливалась. В этот момент нижняя стенка начинала двигаться с той же скоростью справа налево и двигалась столько же времени, сколько верхняя, завершая один период. После 10 периодов (внизу) красная капля вытянулась и многократно изогнулась, образовав складки: она попала в область хаотического перемешивания. Зеленая капля лишь несколько вытянулась — это «остров» нехаотического перемешивания.

В основе описания через «движение» лежит так называемое точечное преобразование — математическая операция, переводящая каждую данную частицу жидкости в определенную точку пространства в некоторый момент времени в будущем. Таким образом, с помощью этого преобразования каждая частица переводится в новое положение. Частицы, первоначально находящиеся в разных точках, никогда не могут одновременно занимать одно и то же положение, и одна частица никогда не может одновременно занять два положения (раздвоиться). Хотя теоретически такие точечные преобразования существуют для любых перемешивающих потоков, явно найти их можно только для простейших систем. Поэтому многое из того, что известно о перемешивании, ограничено случаями весьма простых потоков, таких как прямолинейные потоки, в которых след пробной частицы остается прямым. Потоки такого типа не могут приводить к процессам, обеспечивающим эффективное перемешивание, поскольку оно обусловлено именно криволинейностью траекторий частиц жидкости. Чтобы получить представление об этих процессах, необходимо рассмотреть стационарные двумерные потоки.

Двумерные потоки

Все двумерные потоки построены из одинаковых «блоков», связанных с гиперболическими (седловыми) и эллиптическими точками (см. рисунок 4). К гиперболической точке жидкость движется в одном направлении, от нее — в другом, а эллиптическую точку жидкость обтекает. (Следует упомянуть также точки третьего типа, которые называют параболическими. В этих точках происходит сдвиговое, или тангенциальное, течение, подобное, например, течению жидкости вдоль твердой стенки. При описании механизма перемешивания в двумерных потоках параболическими точками можно пренебречь.) Как можно было ожидать, перемешивание в стационарном двумерном потоке менее эффективно по сравнению с перемешиванием в трехмерных потоках, особенно если последние нестационарны во времени. Действительно, в стационарном ограниченном двумерном потоке есть только две возможности: частицы жидкости либо периодически проходят один и тот же путь, называемый линией тока, либо не двигаются совсем.

Поскольку в стационарном потоке линии тока фиксированы и траектории частиц жидкости никогда не пересекаются, они не могут войти в контакт друг с другом, т. е. перемешаться. Существует ли какой-нибудь способ избежать ограничений, связанных с необходимостью двигаться периодически по одному и тому же пути вдоль линии тока? Такой способ есть. Для этого надо заставить поток меняться со временем так, чтобы линии тока, соответствующие картинам течения в разные моменты времени, пересекались.

Наиболее просто этого можно добиться (и произвести теоретический анализ), если поток будет периодически меняться во времени. Чтобы такой поток приводил к эффективному перемешиванию, необходимы периодически повторяющиеся вытягивания и изгибы участков жидкости и возврат их в первоначальное положение. Процедура вытягивания и образования складок соответствует так называемой подковообразной структуре, описанной С. Смейлом из Калифорнийского университета в Беркли.

То, что для достижения более эффективного перемешивания материала необходимо часть его возвращать в первоначальное положение, противоречит обычным представлениям. Тем не менее, если смешивание проводится в ограниченной системе, альтернативы не существует. Если, например, периодически пускать стрелы в цель, со временем какая-нибудь из них случайно попадает очень близко к другой — просто по той причине, что площадь мишени ограниченна. Точно так же при многократном повторении вытягиваний и изгибов участков жидкости в замкнутой полости некоторые частицы в определенный момент времени обязательно окажутся сколь угодно близко к своему первоначальному положению.

Если через некоторое время в периодически меняющемся потоке частица возвращается точно в свое первоначальное положение, то она определяет так называемую периодическую точку. В зависимости от числа периодов, необходимых для возврата частицы в первоначальное положение, эти точки называют периодическими с периодом один, два и т. д. Их можно классифицировать так же, как эллиптические и гиперболические в зависимости от направления потока в непосредственной близости от них.

Поскольку эллиптическая периодическая точка циклически движется по замкнутой траектории, частицы жидкости вблизи этой точки не только циркулируют вокруг нее (как это было бы в случае неподвижной эллиптической точки), но и перемещаются вместе с ней. Однако, несмотря на то, что в этой области частицы жидкости совершают вращательное и поступательное движения, перемещения вещества в остальную часть жидкости не происходит. Такие области видны как «островки»; перемешивание в них идет медленно. Поскольку вещество не может ни войти, ни покинуть окрестность эллиптической периодической точки, такие точки представляют собой препятствия для эффективного перемешивания.

Подобным образом при циклическом движении гиперболической периодической точки окружающее ее вещество, движущееся вместе с этой точкой, испытывает сокращение в одном направлении и вытягивание в другом. При этом точка как бы выталкивает наружу вытянутые участки в одном направлении и втягивает вещество с другого направления. (Если считать жидкость несжимаемой, вытягивания и сокращения должны компенсировать друг друга.)

Следы хаоса

Куда уходит вещество от гиперболической периодической точки? Откуда оно приходит? Одна из возможностей состоит в том, что втекающий поток непрерывно переходит в вытекающий, т. е. материал, вышедший из гиперболической точки, приходит обратно к ней или к другой гиперболической точке. Именно такой механизм осуществляется в стационарных потоках (когда гиперболические точки фиксированы и не являются периодическими), поэтому эффективного вытягивания и образования складок не происходит.

Нестационарные двумерные потоки могут приводить к эффективному перемешиванию, поскольку в этом случае отток, связанный с одной гиперболической периодической точкой, может пересекать область вытекающего потока этой же или какой-либо другой гиперболической точки. Точку, в которой пересекаются втекающий и вытекающие потоки, связанные с одной гиперболической точкой, называют трансверсальной гомоклинной точкой. Если эти пересекающиеся потоки связаны с двумя разными гиперболическими точками, то точку пересечения потоков называют трансверсальной гетероклинной точкой.

Гомоклинные и гетероклинные пересечения — характерные следы хаоса. С математической точки зрения система, в которой могут возникать подкововидные структуры или транс-версальные гомо- или гетероклинные пересечения, может считаться хаотической. Оказывается, что в потоке, описываемом подкововидной структурой, обязательно должны присутствовать трансверсальные гомо-клинные точки; точно так же наличие хотя бы одной такой точки означает, что поток описывается подкововидной структурой.

Оказывается, даже единственное пересечение втекающего и вытекающего потоков с неизбежностью приводит к появлению трансверсальных гомоклинных точек и что подобные пересечения могут возникать даже в таких «хороших» системах, как системы, описываемые законами движения Ньютона. Этот факт впервые был открыт в XIX в. французским математиком Анри Пуанкаре. Однако сложность анализа течения жидкости при наличии такого пересечения (подобное состояние системы сейчас называют хаосом) поразила Пуанкаре, и он решил больше не заниматься этой проблемой.

Если перемешивание может быть представлено детерминированным точечным преобразованием, оно должно быть кинематически обратимым. Иными словами, совершив все движения в обратном порядке, можно было бы разделить смешанные жидкости (если пренебречь молекулярной диффузией). Однако повседневный опыт показывает, что смешивание необратимо. Даже если теоретически система детерминирована, движения, приводящие к повторяющимся вытягиваниям и образованию складок, не могут быть обращены во времени.

Подобная ситуация встречается и в других физических системах. Примером может служить изученная Пуанкаре система, состоящая из большого числа частиц, относительное движение которых описывается детерминированными уравнениями (так называемыми гамильтоновыми уравнениями). Выдающийся американский физик XIX в. Дж. Уиллард Гиббс пришел к выводу, что даже гамильтоновым системам присущи необратимость и непредсказуемость. Показательно в этом отношении, что для иллюстрации необратимости им был предложен гипотетический эксперимент, в котором рассматривалось перемешивание. По-видимому, вывод Гиббса оставался незамеченным до тех пор, пока в 1955 г. в одном из журналов не была опубликована статья шведского океанолога П. Велландера.

Страницы: 1, 2