Реферат: Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле

Обширный класс интегральных представлений аналитических функций, используемых для получения и исследования аналитических решений дифференциальных уравнений (АРДУ), описывается общей формулой:

                   (49)

где  - ядро типа Шварца, зависящее от связности данной области,  - аналитическая функция, регулярная и однозначная в (n+1) – связной канонической круговой области ,  - заданная плотность – вещественная функция в точках ,   контура круговой области .

Вещественные  и комплексные  таковы, что :

,  ,  (, ).        (50)

По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое решение дифференциальных уравнений (АРДУ) для произвольных областей  плоскости , ограниченную замкнутыми кривыми  типа Ляпунова. (Существует касательная в каждой точке , , ,  - угол между касательными; кривая замкнута и ограничена).

Используя интегральные представления Чизотти, мы получим решение задачи Дирихле для области  и интегральные формулы Пуассона для :

 (51)

 .      (52)

Из (52) получим:

.

где

, 

, 

, , ,  [4];

В случае круга:

.

Круговое кольцо:

,

где  - функция Вейерштрасса,  , , ,  - некоторые постоянные, определяемые из нормировки отображений функций , ,  - периоды функции .

Формулу (53) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для областей , или решениями задачи Дирихле для рассматриваемой области или интегральными формулами Пуассона для соответствующих канонических областей .

б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти

для многосвязных областей

Как мы знаем, решение задачи Дирихле для произвольных многосвязных областей найти явное и эффективное решение трудоемкая или невозможная проблема.

Поэтому более эффективное нахождение краевых задач представляет немаловажный интерес в теории аналитических и гармонических функций для многосвязных областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности двух кругов и для конечных двух-трехсвязных областей и т.д.) используя интегральную формулу Чизотти для заданных соответствующих областей.

1. Построим функцию , дающую конформное отображение  на , где , ; ():

,                 (57)

где  и  - постоянные,  определяется однозначно по формуле Шварца для соответствующих заданных областей.

Пусть  - регулярная функция в . Так как подинтегральное выражение (57) представимо по формуле Эйлера в следующем виде:

, то

                                                (58)

С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид:

.

где  и  - постоянные (к=1,2).

Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для конечных многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула Чизотти для конечных многосвязных круговых областей.

Если найден  и  от известного интегрального выражения ):

, т.е.

;           (60)      

,

то мы получим решение граничной задачи Пуассона для канонических (конечных, бесконечных) областей .

2. Если область  - концентрическое круговое кольцо, то

,                (61)

где  - заданная функция  - функция Вейерштрасса, то мы имеем интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной контурной форме.

Из (61) получим:

,          (62)

,          (63)

где , , , .

Формулы (62) и (63) называются интегральными формулами Вилля-Пуассона. Подставляя (62) и (63) в исходную интегральную (59) мы получим интегральную формулу Дирихле через интеграл Чизотти. Формулы (62) и (63) можно назвать интегральными формулами Дирихле-Чизотти для конечных двусвязных областей.

в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение

задачи Дирихле для соответствующих областей.

Если известны интегральные формулы Шварца для круговых областей , дающие аналитической в  функции  через нормальной производной ее действительной части на границе  области  и интегральные представления Чизотти для круговых областей, дающие выражение функции , реализующей конформное отображение области  на ограниченную гладкой кривой (51), (52), то поэтому интегральную формулу, дающую конформное отображение  на  через нормальную (касательную) производную ее действительной (мнимой) части  на границе , естественно назвать интегральной формулой Дини-Шварца-Чизотти для заданных областей.

Можно рассмотреть интегральные формулы Дини-Шварца для многосвязных областей и их применение к решению краевых задач типа Дирихле.

Решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле сопряженной гармонической функции.

Учитывая, что задача конформного отображения многосвязной области  на каноническую область  и задача Дирихле для той же области эквивалентны (49), используем интегральный метод Чизотти для соответствующих областей (50), (51).

Применяя ИПАФ типа Шварца регулярной и однозначной в , найдем решение задачи Дирихле, как представляющее однозначную и аналитическую (гармоническую) в произвольной многосвязной области функцию

                    (64)

удовлетворяющую в  уравнению

                            (65)

и граничному условию

,  ,           (66)

где .

Решение задачи (65) и (66) в заданных произвольных областей  имеет следующий вид:

      (67)

или после соответствующих преобразований получим (§4 п."б"):

;

,    (68)     

где  и  постоянные, определяемые нормировкой функции ,  - угол наклона касательной  в точке , соответствующей  при отображении .

Пусть теперь  - каноническая область (круг, концентрическое круговое кольцо, внешность двух кругов, …), а  - соответствующая область, ограниченная контуром .

Построим функцию , дающую конформное отображение  на . Причем будем для простоты считать, что , .

В силу конформности отображения  всюду в  функция равна

;   на                   (69)

, 

Следовательно, функцию можно представить следующими интегральными формулами типа Шварца:

,  ,  ();

,  ,  (;   (70)      

,  ,

где       - ядро Шварца для круга;

  - функция Вейерштрасса;

  - ядро Александра-Сорокина для неконцентрического кругового кольца;

  - ядро для внешности двух окружностей;

  - ядро для симметричных и равных (неравных) окружностей.

Интегральное представление (68) назовем интегральной формулой для решения задачи типа Дирихле для рассмотренных областей .

Для нахождения гармонической  (или ) в произвольной односвязной области функций, достаточно знать  или  обычные классические интегральные формулы Пуассона для круга :

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5