Реферат: Количественные методы в управлении
значения |
1 |
3 |
4 |
5 |
6 |
9 |
12 |
13 |
14 |
15 |
17 |
19 |
частоты |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
6 |
6 |
2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
частости |
1/24 |
1/24 |
1/24 |
2/24 |
1/24 |
6/24 |
6/24 |
2/24 |
1/24 |
1/24 |
1/24 |
1/24 |
Многоугольник частот:
Интервальный вариационный ряд:
Границы
интервалов |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
Середины
интервалов |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
Частоты |
1 |
1 |
3 |
1 |
6 |
0 |
8 |
2 |
1 |
1 |
Частости |
1/24 |
1/24 |
3/24 |
1/24 |
6/24 |
1/24 |
8/24 |
2/24 |
1/24 |
1/24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многоугольник частостей:
Выборочная функция распределения:
Статистические характеристики:
|
По
исходному ряду |
По
дискретному ряду |
По
интервальному ряду |
Выборочная
средняя |
10,4 |
10,4 |
10,42 |
Выборочная
дисперсия |
18,79 |
18,79 |
19,88 |
Выборочное
СКО |
4,33 |
4,33 |
4,46 |
Несмещенная
оценка ген. диспер. |
19,61 |
19,61 |
20,75 |
Необходимые формулы и расчеты:
3. Модели сотрудничества и конкуренции.
Рассмотрим две фирмы, i=1,2, выпускающие один и тот же товар.
Пусть затраты i-й фирмы при выпуске x[i] равны a[i]*x[i] (таким образом,
a[i] есть себестоимость выпуска одной единицы товара i-й фирмой). Произведенный
обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Цена на товар линейно падает в
зависимости от поступающего на рынок общего его количества: p(x)=c-bx,
c,b>0, где x=x[1]+x[2]. Следовательно, прибыль i-ой фирмы равна
W[i](x[1],x[2])=x[i]*(c-bx)-a[i]*x[i]=bx[i]*(d[i]-(x[1]+x[2])),где
d[i]=(с-a[i])/b. Поведение каждой фирмы определяется ее стремлением максимизировать
свою прибыль.
Дано: a[1]=5, a[2]=6, b=9, c=77.
Тогда: p(x)=77-9*x d[1]=(с-a[1])/b=(77-5)/9=8
d[2]=(с-a[2])/b=(77-6)/9=7,89
W[1](x[1],x[2])= bx[1]*(d[1]-(x[1]+x[2]))=
9*x[1]*(8-(x[1]+x[2]))
W[2](x[1],x[2])= bx[2]*(d[2]-(x[1]+x[2]))=
9*x[2]*(7,89-(x[1]+x[2]))
Допустим, что первая фирма узнала стратегию второй, т.е.
объем ее выпуска x[2]. Токда она выбрала бы свой выпуск из условия максимизации
прибыли:
¶W[1]/ ¶x[1]= b*(d[1]-(x[1]+x[2])) – b* x[1]=0, т.е. x*[1]= (d[1]-x[2])/2=(8-x[2])/2
Аналогично для второй фирмы: x*[2]=
(d[2]-x[1])/2=(7,89-x[1])/2
x*[2], x*[1] – оптимальные выпуски 1-ой и 2-ой фирм при
условии, что они знают выпуск конкурента.
Теперь предположим, что производственные циклы фирм
совпадают, т.е. a[1]=a[2]=5. Пуcть фирмы выбирают свои
оптимальные выпуски, зная объем производства своего конкурента за прошлый
период. Предположим, что d[1]/2<d[2]<2d[1], тогда эти прямые пересекаются
в точке K с координатами x[1]=(2d[1]-d[2])/3, x[2]=(2d[2]-d[1])/3. Эта точка
называется точкой Курно. Как видно на риссунке последовательность стратегий
фирм сходится к этой точке. Так как а[1]=a[2], то d[1]=d[2]=8, тогда точка
Курно K(d/3,d/3), x[i]=d/3, прибыли фирм W[i]=b*d2/9, цена
p=c-2*b*d/3. И еще одно условие x<=c/b<=d .
d[1]/2<d[2]<2d[1] - 8/2<8<2*8
- верно.
Нанесем на плоскость x [1] x[1] прямые-множества стратегий
фирм в ответ на известную стратегию другой фирмы x*[1]=(8-x[2])/2 и
x*[2]=(8-x[1])/2 и найдем точку их пересечения. x[1],х[2]=d/3=8/3=2,67.
Далее определим прибыли фирм W[1], W[2]=b*d2/9=9*64/9=64,
p=c-2*b*d/3=77-2*9*8/3=29.
Теперь посмотрим, как действует модель Курно. Пусть 7,8 и
0,1 – выпуски фирм за прошлый год и каждая фирма знает этот выпуск своего
конкурента. Тогда, зная его она применяет свою оптимальную стратегию с целью
максимизировать прибыль. Убедимся, что после некоторого количества итераций они
окажутся в точке Курно.
N |
Выпуск |
Цена |
Прибыли |
1-я
фирма |
2-я
фирма |
1-я
фирма |
2-я
фирма |
0 |
7,8 |
0,1 |
|
|
|
1 |
3,95 |
0,1 |
40,55 |
140,42 |
3,56 |
2 |
2,99 |
2,03 |
31,89 |
80,33 |
54,45 |
3 |
2,75 |
2,51 |
29,72 |
64,93 |
62,09 |
Как видно уже при 3-ей операции выпуски и прибыли 1-ой и
2-ой фирмы и цена значительно приблизились к точке Курно. Посмотрим это
графически.
Зеленым цветом обозначены точки последовательных итераций, а
красным – точка Курно.
Математической моделью конфликтов с двумя участниками
являются биматричные игры. Такая игра 2х2 задается биматрицей (aij,bij) . В
кооперативном варианте такой игры игроки могут согласованно выбирать элемент
биматрицы. Если они выбрали элемент (a,b), то Первый игрок получает a , а
Второй получает b . Цели игроков одинаковы - выиграть как можно больше в
расчете на партию в среднем. Пусть (x,y), (a,b) - две точки из CE. Говорят,
что (x,y) доминирует (a,b) если x>=a, y>=b и хотя бы одно из этих
неравенств строгое. Недоминируемые точки называются оптимальными по Парето, а
их множество - множеством оптимальности по Парето. Еще более узкое множество
называется переговорным. Оно определяется так: пусть Vk - максимальный выигрыш,
который k-й игрок может обеспечить себе при любой стратегии другого игрока,
тогда переговорное множество определяется как множество тех точек множества
Парето, у которых k-я координата не меньше Vk. Для нахождения Vk на до решить
две задачи ЛП:
V1-->max,
a11*x+a21*(1-x)>=V1,a11*x+a12*(1-x)>=V1, 0<=x<=1;
V2-->max,
a11*y+a12*(1-y)>=V2,a21*y+a22*(1-y)>=V2, 0<=y<=1.
Дано:
биматрица
Нанесем на плоскость элементы биматрицы и начертим
выпуклую оболочку.
Где красным и зеленым цветом обозначено множество
оптимальности по Парето, а зеленым – та его часть, которая является
переговорным множеством. V1=8, V2=4.
Цена игры первого игрока V1 находится легко, так
как в матрице аij есть седловая точка а[2,1]=8.
Основная теорема матричных игр утверждает, что для любой матричной игры
max{min{M[P,Q]:Q}:P}=min{max{M[P,Q]:P}:Q}, т.е. во множестве смешанных
стратегий есть седловая точка, дающая оптимальное решение игры. Поэтому V1= а[2,1]=8, а
оптимальная стратегия 1-го игрока Р*=(0 1), так как ему выгодно выбирать все
время 2-ю строку.
Для того, чтобы найти цену игры и оптимальную стратегию 2-го
игрока необходимо решить задачу ЛП. Если все разделить на V2 и
сделать замену переменных, то получим:
V2-->max y/V2=x1
x1 + x2 àmin
2*y+6*(1-y)>=V2, (1-y)/V2=x2
2*x1 +6*x2>=1
7*y+1*(1-y)>=V2,
7*x1 +1*x2>=1
0<=y<=1.
x1, x2 ≥0
Решая ее находим V2=4.
Итак, цена игры 2-го игрока V2=4
4. Социально-экономическая структура общества.
Такой моделью является так называемая «диаграмма или кривая
Лоренца».
Рассмотрим функцию распределения богатства в обществе d(z),
которая сообщает, что z-я часть самых бедных людей общества владеет d(z)-й
частью всего общественного богатства. Далее приведен график функции d(z).
Площадь заштрихованной линзы называется коэффициентом Джинни J. Эта величина не
более 1/2. Чем она меньше, тем равномернее распределено богатство в обществе.
При J>0.2 распределение богатства называется опасно несправедливым - это
преддверие социальных волнений. Из функции d(z) можно получить другую функцию
w(z) , она сообщает долю общественного богатства, которой владеет z-я часть
самых богатых людей (w(z)=1-d(1-z)). Еще одну функцию можно получить из d(z):
S(x)=d(1/2+x)-S(1/2-x). Она показывает, что часть общества, которая богаче,
чем (½-х) самых бедных, но беднее (½-х) самых богатых, владеет S(x)-й частью всего общественного богатства. График функции S
расположен только над отрезком [0, 1/2]. Говорят, что в обществе есть средний
класс, если d(3/4)-d(1/4)>=1/2 или, что то же самое S(1/4)>=1/2 .
Дано: d(z)= exp((7/2)*ln(z))
Как видно на графиках d(0,5)=0,09 ,т.е.
половина самых бедных членов общества владеет только 9% всего общественного
богатства. Вычислим коэффициент Джинни:
½ - J=( 0∫1 (exp(7/2*ln(z))
dz)=0,22, значит J=0,28. Так как 0,28>0,2, то распределение богатства в обществе опасно
несправедливо.
s(x)= exp((7/2)*ln(1/2+х)) -
exp((7/2)*ln(1/2-х))
w(z)= 1 - exp((7/2)*ln(1-z))
Так как s(0,25)=0,36 и 0,36<0,5, то можно сделать вывод об отсутствии в данном
обществе среднего класса. w(0,1)=0,31 означает, что
десятая часть самых богатых владеет 31% всего общественного богатства.
Производные функций d(z) и w(z):
Пусть F(z) есть доля имеющих месячный доход меньше z по
отношению ко всем, имеющим какой-нибудь денежный доход (всех таких членов
общества назовем налогоплательщиками). Функцию F(z) вполне правильно
трактовать как функцию распределения случайной величины I - месячный доход
случайного налогоплательщика. С.в. I можно считать непрерывной. Функция
F(z) может быть интересна налоговой инспекции. С помощью функции F(z) можно
найти несколько интересных характеристик общества. Например, средний доход,
который находится как интеграл от 0 до бесконечности функции z*dF(z). Другой
подобной характеристикой является коэффициент Рейнбоу, который находится как
отношение решений уравнений F(z)=0.9 и F(z)=0.1, т.е. этот коэффициент
показывает отношение доходов 10% членов общества с самыми высокими доходами к
доходам 10% с самыми низкими доходами. Если это отношение превышает 20, то
распределение доходов называется несправедливым, иначе нормальным.
Дано: F(z)= 1 – exp(6*ln(500/(500+z)))
Как видно на графике 1, F(9)=0,1 и F(234)=0,9. Это говорит о том, что 10% низкодоходных членов
общества имеют доход не более 9 у.е., а 10% высокодоходных имеют доход более
234 у.е. Если взять эти числа как отношение, то получим Коэффициент Рейнбоу.
Так как 234/9=26 и 26>20, то распределение доходов в
данном обществе можно считать несправедливым.
|