Реферат: Электрон в слое
Реферат: Электрон в слое
Министерство Образования, Молодежи и
Спорта
Республики Молдова
Государственный университет Молдовы
Кафедра
теоретической
физики
|
Курсовая
Работа
Тема: Электрон
в слое.
Руководитель
работы:
Климин
С.Н.
|
Работу выполнил
студент 3-го курса:
Радченко Андрей
|
Кишинёв
1997 г.
Микрочастица (электрон) в слое.
Собственно говоря, одномерная задача, которая
сейчас будет рассмотрена, во многих учебных руководствах довольно подробно
разобрана путём введения некоторых упрощений.
Она состоит в следующем :
Микрочастица (электрон) движется вдоль оси x,
и её движение полностью определяется следующим гамильтонианом :
ì -ћ2/(2m)׶2/¶x2
+ U0 , x < -a
Ù ï
H = í -ћ2/(2m0)׶2/¶x2
, -a < x < a
ï
î -ћ2/(2m)׶2/¶x2
+ U0 , x > a
Где
m - эффективная
масса электрона в областях I , III ;
m0 - эффективная масса электрона в
области II.
Запишем
уравнение Шрёдингера для каждой области :
ì ¶2YI/¶x2
+ 2m/ћ2×(E - U0)YI = 0 , x £ -a
ï
í ¶2YII/¶x2
+ 2m0/ћ2×E×YI = 0 , -a
£ x £ a
ï
î ¶2YIII/¶x2 +
2m/ћ2×(E -
U0)×YI = 0 ,
x ³ a
Область I :
Общий вид решения уравнения Шрёдингера для 1-ой
области записывается сразу :
YI(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).
Используя свойство ограниченности волновой
функции, мы придём к тому что B = 0. Значит,
YI(x) = A×exp(n×x).
Волновая
функция для второй области тоже элементарно определяется :
YII(x) = C×exp(i×k×x) + D×exp(-i×k×x).
Функция
состояния для третьей области выглядит так :
YIII(x) = F×exp(-n×x).
Где
k = (2m0×E/ћ2)1/2
n
= (2m×(U0-E)/ћ2)1/2.
Стратегия
наших дальнейших действий будет состоять в следующем :
¨
¨ Напишем систему из 4
уравнений, удовлетворение которых эквивалентно удовлетворению функциями граничным
условиям.
¨
¨ В этой системе из 4
уравнений будут фигурировать неизвестные коэффициенты A,C,D
и F. Мы
составим линейную однородную систему относительно них.
¨
¨ Ясно, что существование
нетривиальных решений допускается только в случае когда детерминант системы
равен нулю. Как выяснится чуть позже, из этого весьма полезного факта мы
извлечём уравнение, корнями которого будут возможные уровни энергии.
Приступим к осуществлению первого пункта, т.е.
запишем условия сшивания волновых функций :
YI(x=-a) = YII(x=-a)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YI¢(x=-a)/m = YII¢(x=-a)/m0
YII¢(x=a)/m0
= YIII¢(x=a)/m
А
в наших определениях этих функций это выглядит так :
A×exp(-n×a) = C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)
m-1×A× n×exp(-n×a) = i×k×/m0×(C×exp(-i×k×a) - D×exp(i×k×a))
C×exp(i×k×a) + D×exp(-i×k×a) = F×exp(-n×a)
i×k×/m0×(C×exp(i×k×a) - D×exp(-i×k×a)) = - n/m×F×exp(-n×a).
Теперь
составим определитель :
|exp(-n×a) -exp(-i×k×a) -exp(i×k×a) 0 |
|m-1×n×exp(-n×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m0×i×k×exp(i×k×a) 0 |
|0 exp(i×k×a) exp(-i×k×a) -exp(-n×a) |
|0 1/m0×i×k×exp(i×k×a) -1/m0×i×k×exp(-i×k×a) 1/m×n×exp(-n×a)|
Если теперь раскрыть этот определитель по
обычным правилам и приравнять его к нулю, то мы получим следующее уравнение для
уровней энергии:
((n/m)2
-
(k/m0)2)×Sin(2×k×a) + 2×k×n/(m×m0)×Cos(2×k×a) = 0.
Это уравнение решается численным методом, а
именно, методом Ньютона.
Найдём неизвестные коэффициенты A, C, D, F для более полного описания
волновой функции. Для этого воспользуемся некоторыми соотношениями, которые
непосредственно вытекают из условий сшивания и условия нормировки.
C
= F×exp(-n×a)×{exp(i×k×a) + exp(-3×i×k×a)
×( i×k/m0 - n/m)/(n/m + i×k/m0)}
D
= C×exp(-2×i×k×a)×( i×k/m0 -
n/m)/(n/m + i×k/m0)
A
= exp(n×a)×(C×exp(-i×k×a) + D×exp(i×k×a)) .
Поскольку A, C и D линейно зависят от F, то
целесообразно ввести обозначения :
A = RA×F
C = RC×F
D = RD×F.
RA, RC, RD
- известные
постоянные.
Таким образом, если мы каким-то образом узнаем
константу F,
то мы определим остальные константы A, C, D. А сделаем мы это с помощью условия нормировки.
Действительно :
YI(x) = F×RA×exp(n×x)
YII(x) = F×( RC×exp(i×k×x) + RD×exp(-i×k×x)).
YIII(x) = F×exp(-n×x).
I1
+ I2 + I3 = 1
Где
I1 = |F|2×|RA|2×òQexp(2×n×x)×dx = |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(2×n×x) =
= |F|2×|RA|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a)
I2 = |F|2× + RC*×RD×òLexp(-2×i×k×x)×dx = |F|2×
I3 = |F|2×òWexp(-2×n×x)×dx = |F|2×(2×n)-1×exp(-2×n×a)
|F|2 = + i×((exp(-2×i×k×a) - exp(2×i×k×a))×RC*×RD/(2×k) + (2×n)-1×exp(-2×n×a) -1.
Теперь, когда мы знаем F, нетрудно определить
коэффициенты A, C, D, а значит
и волновую функцию, характеризующую состояние электрона.
Электрон в слоях
Задача, которая сейчас будет описана,
характеризуется тем, что потенциал обладает пространственной периодичностью.
Схематически это изображается так.
То есть, это ни что иное как одномерное движение
электрона в периодическом поле. Графически это можно изобразить серией
потенциальных барьеров или, как говорят, серией потенциальных ступенек.
Аналитически условие периодичности потенциала
записывается весьма просто:
U(x)=U(x+2a) (1)
Соотношение (1) записано в предположении,
что ширина каждой потенциальной ямы равна ширине всякого потенциального
барьера.
Ясно, что волновые функции, соответствующие
областям I,
III,
удовлетворяют одному и тому же уравнению Шредингера:
¶2Y/¶x2
+ 2m/ћ2×(E -
U0)Y = 0
следовательно эти функции отличаются только
постоянным множителем, который называется фазовым множителем.
Этот фазовый множитель мы будем обозначать
следующим образом:
r = exp(i
2ak)
Тогда Y(x+2ma) = Y(x)×rm , где
m=0,
±1,
±2,... (2)
Оказывается, что достаточным для определения
дискретного энергетического спектра (рассматривается только случай когда E<U0)
и волновой функции
является рассмотрение областей I, II, III. Действительно, пользуясь
соотношением (2), мы определим волновую функцию на всей действительной оси.
Рассмотрим область I:
Уравнение Шредингера для нее записывается в
виде:
¶2YI/¶x2 + 2m2/ћ2×(E -
U0)YI = 0 , 0 >
x > -a
его
решение выглядит просто:
YI(x) = A×exp(n×x) + B×exp(-n×x).
Где n = (2m2
(U0-E)
/ћ2)1/2
Рассмотрим область II:
Уравнение Шредингера для нее записывается в
виде:
¶2YII/¶x2 + 2m1/ћ2×E YII = 0 , a ³ x ³ 0
его
решение выглядит просто:
YII(x) = C×exp(i×p×x) + D×exp(-i×p×x).
Где p = (2m1E/ћ2)1/2
Рассмотрим область III:
¶2YIII/¶x2 + 2m2/ћ2×(E -
U0)YIII = 0 , 2a >
x > a
его
решение выглядит просто:
YIII(x) = r (A×exp(n×x) + B×exp(-n×x)).
Запишем граничные условия:
YI(x=0) =
YII(x=0)
YII(x=a) = YIII(x=a)
YI¢(x=0)/m = YII¢(x=0)/m0
YII¢(x=a)/m0
= YIII¢(x=a)/m
Подставляя волновые функции в эту систему
уравнений, мы получим некоторые связи между коэффициентами A, B, C, D:
A+B=C+D
C exp(i p
a)+D exp(-i p a) = exp(i 2 a k) (A exp(n a)+B exp(-n a))
(A-B) n/m2
= (C-D) i p / m1
(C exp(i p
a)-D exp(-i p a)) i p / m1 = exp(i 2 a k) n/m2
(A exp(n a)-B exp(-n a))
Следуя приведённым выше соображениям, мы
составим определитель :
|1 1 -1 -1 |
|exp(i×k×2a+n×a) exp(i×k×2a-n×a) -exp(i×p×a) -exp(-i×p×a) |
|n/m2 -n/m2 -i×p/m1 i×p/m1 |
|n/m2exp(i×k×2a+n×a) -n/m2×exp(i×k×2a-n×a) - i×p/m1×exp(i×p×a) i×p/m1×exp(-i×p×a) |
и приравняем его к нулю.
Результатом раскрытия определителя будет весьма
громоздкое уравнение содержащее в качестве неизвестного энергию электрона.
Рассчитанные уровни энергии для различных
эффективных масс приведены ниже.
a=10; U=10; m1=4; m2=1
0.1135703312666857 |
0.6186359585387896 |
0.2019199605676639 |
0.3155348518478819 |
0.05047267055441365 |
1.263391478912778 |
0.4544326758658974 |
2.137353840637548 |
0.808172718170137 |
2.479933076698526 |
0.4544326758658974 |
6.168062551132728 |
5.611693924351967 |
1.820461802850339 |
1.529165865668653 |
1.023077302091622 |
|
|
a=10 U=10 m1=2 m2=1
0.1032788024178655 |
0.2324238959628721 |
0.41331603936642 |
0.6460490460448886 |
0.930750939555283 |
1.26759057783714 |
1.656787195799296 |
2.098624192369327 |
|
2.593469359607937 |
3.141805331837109 |
|
3.744277072860902 |
5.887485640841992 |
|
a=10 U=10 m1=1 m2=1
0.05408120469105441 |
0.2163802958297131 |
0.4870681554965061 |
0.86644533469418 |
1.354969224117534 |
1.953300729714778 |
2.662383817919513 |
4.418966218448088 |
7.961581805911094 |
a=10 U=10 m1=0.5 m2=1
0.118992095909544 |
4.249561710930034 |
1.068004282376146 |
0.4754473139332004 |
5.78216724725356 |
2.955345679469631 |
1.895012565781256 |
|
|
a=10 U=10 m1=.25 m2=1
0.2898665804439349 |
4.30026851446248 |
2.479039415645616 |
1.132264393019809 |
|