Ðåôåðàò: Ýôôåêòèâíûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíî íåîäíîðîäíûõ ñðåä
Ðåôåðàò: Ýôôåêòèâíûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíî íåîäíîðîäíûõ ñðåä
Ââåäåíèå
Ðåøàþùóþ ðîëü â âîñïðèÿòèè îêðóæàþùåãî ìèðà èãðàþò õàðàêòåðèñòèêè, ñîõðàíÿþùèåñÿ (â çàìêíóòûõ ñèñòåìàõ). Ñðåäè íèõ èìåþòñÿ òàêèå óíèâåðñàëüíûå, êàê ìàññà, êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ, ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, ýíåðãèÿ è ýíòðîïèÿ.
 ó÷åíèè î òåïëîîáìåíå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîöåññû ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëîòû â òâåðäûõ, æèäêèõ è ãàçîîáðàçíûõ òåëàõ. Ýòè ïðîöåññû ïî ñâîåé ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêîé ïðèðîäå âåñüìà ìíîãîîáðàçíû, îòëè÷àþòñÿ áîëüøîé ñëîæíîñòüþ è îáû÷íî ðàçâèâàþòñÿ â âèäå öåëîãî êîìïëåêñà ðàçíîðîäíûõ ÿâëåíèé.
Ïåðåíîñ òåïëîòû ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ òðåìÿ ñïîñîáàìè: òåïëîïðîâîäíîñòüþ, êîíâåêöèåé è èçëó÷åíèåì, èëè ðàäèàöèåé. Ýòè ôîðìû ãëóáîêî ðàçëè÷íû ïî ñâîåé ïðèðîäå è õàðàêòåðèçóþòñÿ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè.
Ïðîöåññ ïåðåíîñà òåïëîòû òåïëîïðîâîäíîñòüþ ïðîèñõîäèò ìåæäó íåïîñðåäñòâåííî ñîïðèêàñàþùèìèñÿ òåëàìè èëè ÷àñòèöàìè òåë ñ ðàçëè÷íîé òåìïåðàòóðîé. Ó÷åíèå î òåïëîïðîâîäíîñòè îäíîðîäíûõ è èçîòðîïíûõ òåë îïèðàåòñÿ íà âåñüìà ïðî÷íûé òåîðåòè÷åñêèé ôóíäàìåíò. Îíî îñíîâàíî íà ïðîñòûõ êîëè÷åñòâåííûõ çàêîíàõ è ðàñïîëàãàåò õîðîøî ðàçðàáîòàííûì ìàòåìàòè÷åñêèì àïïàðàòîì. Òåïëîïðîâîäíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé, ñîãëàñíî âçãëÿäàì ñîâðåìåííîé ôèçèêè, ìîëåêóëÿðíûé ïðîöåññ ïåðåäà÷è òåïëîòû.
Ïðè îïðåäåëåíèè ïåðåíîñà òåïëîòû òåïëîïðîâîäíîñòüþ â ðåàëüíûõ òåëàõ âñòðå÷àþòñÿ èçâåñòíûå òðóäíîñòè, êîòîðûå íà ïðàêòèêå äî ñèõ ïîð óäîâëåòâîðèòåëüíî íå ðåøåíû. Ýòè òðóäíîñòè ñîñòîÿò â òîì, ÷òî òåïëîâûå ïðîöåññû ðàçâèâàþòñÿ â íåîäíîðîäíîé ñðåäå, ñâîéñòâà êîòîðîé çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû è èçìåíÿþòñÿ ïî îáúåìó; êðîìå òîãî, òðóäíîñòè âîçíèêàþò ñ óâåëè÷åíèåì ñëîæíîñòè êîíôèãóðàöèè ñèñòåìû.
Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè èìååò âèä:
(1)
âûðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî èçìåíåíèÿ òåïëîñîäåðæàíèÿ îïðåäåëåííîé ìàññû âåùåñòâà, çàêëþ÷åííîãî â åäèíèöå îáúåìà, îïðåäåëÿåòñÿ ðàçëè÷èåì ìåæäó ïðèòîêîì è âûòåêàíèåì ýíåðãèè - äèâåðãåíöèåé ïëîòíîñòè òåïëîâîãî ïîòîêà , ïðè óñëîâèè ÷òî âíóòðåííèõ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè íåò. Òåïëîâîé ïîòîê ïðîïîðöèîíàëåí ãðàäèåíòó òåìïåðàòóðû è íàïðàâëåí â ñòîðîíó åå ïàäåíèÿ; - êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè.
Ïðè ðàçðàáîòêå ìåòîäîâ èñëåäîâàíèÿ êîìïîçèöèîííûõ ìàòåðèàëîâ âåñüìà òðóäíî è, ïî-âèäèìîìó, íå èìååò ñìûñëà (â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ýòî ìîæíî ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçîâàòü) ïîëíîñòüþ ó÷èòûâàòü ñòðóêòóðó êîïìîçèòà.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêëà íåîáõîäèìîñòü ñâÿçàòü ìåõàíèêó êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëîâ ñ ìåõàíèçìàìè ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé, ðàçâèâàþùèìèñÿ îáû÷íî â ðàìêàõ êîíòèíóàëüíûõ ïðîöåññàõ. Ýòà çàäà÷à ðåøàåòñÿ â ïðîöåññå ñîçäàíèÿ òåîðèè îïðåäåëåíèÿ ïðèâåäåííûõ ñâîéñòâ êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëîâ ðàçëè÷íûõ ñòðóêòóð (ñëîèñòûå, âîëîêíèñòûå è äð.), ïðè îïèñàíèè èõ ïîâåäåíèÿ â ðàìêàõ êîíòèíóàëüíûõ ïðåäñòàâëåíèé. Òàêèì îáðàçîì ñîâåðøàåòñÿ ïåðåõîä îò êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñðåäû ê îäíîôàçíîé.
Ðàññìîòðèì äâóõôàçíûé êîìïîçèòíûé ìàòåðèàë, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ìàòðèöó, â êîòîðîé ñëó÷àéíûì îáðàçîì ðàñïðåäåëåíû âêëþ÷åíèÿ âòîðîé ôàçû (àðìèðóþùèé ýëåìåíò), èìåþùèé ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíîîñíóþ ôîðìó. Êîëè÷åñòâî âêëþ÷åíèé äîñòàòî÷íî âåëèêî íà ó÷àñòêå èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû. Ïóñòü íåêàÿ õàðàêòåðèñòèêà ìàòðèöû - , à âêëþ÷åíèé - . Òîãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü êîìïîçèò, êàê íîâûé ìàòåðèàë, ñ õàðàêòåðèñòèêàìè ïðîìåæóòî÷íûìè ìåæäó õàðàêòåðèñòèêàìè ìàòðèöû è âêëþ÷åíèé, çàâèñÿùåé îò îáúåìíîé äîëè ýòèõ ôàç.
, (2)
Ãäå
Ïîäñòàíîâêà (2) â (1) äàåò:
(3)
Èìååì îïåðàòîðû:
(4à)
(4á)
Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîëó÷àåì
Óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà è
ãäå (5)
- óð. Äàéñîíà. (6)
Ôóíêöèÿ Ãðèíà îïèñûâàåò îäíîðîäíûé ìàòåðèàë ñî ñðåäíèìè õàðàêòåðèñòèêàìè îïðåäåëÿåìûå ïî ïðàâèëó ñìåñåé (2), à îïåðàòîð ìîæíî íàçâàòü îïåðàòîðîì âîçìóùåíèÿ, ïîñêîëüêó îí îïðåäåëÿåò ôîðìó è ðàñïîëîæåíèå íåîäíîðîäíîñòåé.
Ðåøèì óðàâíåíèå èòåðàöèÿìè
Âû÷èñëèì ñíà÷àëà
Çäåñü
(7)
Òåïåðü îïðåäåëèì
Òåïåðü íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü
Òàêèì îáðàçîì
(8)
Ïîäñòàâëÿåì â (6) ðàâåíñòâî (8)
, ãäå è (9)
Ïîäñòàâëÿåì (5) â (9)
ãäå è
(10)
(11)
ãäå , (12)
(13)
1. Îãðàíè÷èìñÿ ïåðâûì ïðèáëèæåíèåì
`
(14)
Ðàññìîòðèì:
(15)
2. Îãðàíè÷èìñÿ âòîðûì ïðèáëèæåíèåì
(16)
(17)
Èç (12) íàéäåì:
(18)
Ïîäñòàâëÿÿ (18) ñ ó÷åòîì (16) â (10), ïîëó÷èì:
(19)
Òåïåðü ïîäñòàâëÿåì (19) ñ ó÷åòîì (16) â (13), ïîëó÷èì:
Êîýôôèöèåíòàìè ïðè , èç-çà ìàëîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ïðåíåáðåãàåì
À êîýôôèöèåíòû áåç îáðàùàþòñÿ â èç-çà (14)
ïîäñòàâëÿÿ (17), íàéäåì
(20)
Ïîäñòàâëÿÿ (18) â (11) ñ ó÷åòîì (16), ïîëó÷èì:
(21)
Òåïåðü ïîäñòàâëÿåì (21) ñ ó÷åòîì (16) â (13), ïîëó÷èì:
Êîýôôèöèåíòàìè ïðè , èç-çà ìàëîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ïðåíåáðåãàåì
À êîýôôèöèåíòû áåç îáðàùàþòñÿ â èç-çà (15)
(22)
3. Îãðàíè÷èìñÿ òðåòüèì ïðèáëèæåíèåì
(23)
Ïîäñòàâëÿÿ (18) ñ ó÷åòîì (23) â (10), ïîëó÷èì:
(24)
Òåïåðü ïîäñòàâëÿåì (24) ñ ó÷åòîì (23) â (13), ïîëó÷èì
Êîýôôèöèåíòàìè ïðè ,, èç-çà ìàëîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ïðåíåáðåãàåì
À êîýôôèöèåíòû áåç îáðàùàþòñÿ â èç-çà (14), à ñ- èç-çà (18)
(25)
Ïîäñòàâëÿÿ (18) â (11) ñ ó÷åòîì (23), ïîëó÷èì:
(26)
Òåïåðü ïîäñòàâëÿåì (26) ñ ó÷åòîì (23) â (13), ïîëó÷èì:
Êîýôôèöèåíòàìè ïðè ,, èç-çà ìàëîñòè ïðîèçâåäåíèÿ ïðåíåáðåãàåì
À êîýôôèöèåíòû áåç îáðàùàþòñÿ â èç-çà (15), à ñ- èç-çà (22)
(27)
Àíàëèç è ïîêàçûâàåò, ÷òî è äåéñâèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû, à - ìíèìûå.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû:
1. Ò. Ä. Øåðìåðãîð "Òåîðèÿ óïðóãîñòè ìèêðîíåîäíîðîäíûõ ñðåä" Ì., "Íàóêà", 1977.
2. Ã.À. Øàòàëîâ "Ýôôåêòèâíûå õàðàêòåðèñòèêè èçîòðîïíûõ êîìïîçèòîâ êàê çàäà÷à ìíîãèõ òåë"
ÌÊÌ, ¹1, 1985.
|