Анализ структуры цен на фондовом рынке

 (17)

где  - зависимая переменная,  - параметр регрессии, – независимая переменная, - случайная величина, здесь и далее « / » означает транспонирование. Относительно регрессоров далее используется такое допущение

Допущение 1. Матрица  невырождена

Лемма 1. Если выполняется допущение 1 и  ( - выпуклое множество), то  строго монотонно возрастает, а  строго монотонно убывает при , где  

Рассматриваемую задачу можно трактовать как задачу с двумя нечеткими целями выбора, так как с ростом r увеличивается первый критерий и уменьшается второй, и наоборот. Нечеткой i - целью, i = 1,2 , в множестве Z является некоторое его нечеткое подмножество, обозначим его . Функция принадлежности

 (18)

где .

Согласно лемме 1,  уменьшается от 1 до 0, а увеличивается от 0 до 1.

Рассмотрим модель регрессии с переключением при одномерном переключателе, зависящем от времени t:

, (19)

где  - n – мерный вектор регрессоров,  - n – мерный вектор истинных значений параметров регрессии,  - индекс точки переключения,  - шум.

На отрезке времени  с числом наблюдений  параметры регрессии постоянны и равны . Пусть . Далее будем считать, что точки переключения  известны, а величина  может быть меньше n.

Пусть параметры регрессии на соседних отрезках It и It +1 достаточно близки, что можно сформулировать в виде нечеткого ограничения-равенства  , где – вектор, его компоненты – нечетко заданные числа, функции принадлежности которых сосредоточены в окрестности 0.

Расхождения, аналогичные приведенные в разделе 1, показывают, что задачу оценивания можно сформулировать как двухкритериальную.

 (20)

 (21)

где, , - выпуклое множество,  и  - весовые коэффициенты (известные величины). В частности,

Введем следующие матрицы:

размерности mi x n;

X = diag (X(1), …, X(N)) размерности

;

Сформируем матрицу

.

Здесь r > 0 , ,

где матрица  имеет размерность

(N-1)xN.

Имеем

где  - вектор, размерность которого .

Причем .

Здесь

где , .

Размерность  равна . У вектора  размерности  компонента с индексом  равна , с индексом  - равна , остальные компоненты нулевые.

Относительно регрессоров принимаем допущение

Допущение 6. У матрицы  размерности  столбцы линейно независимы.

Лемма 2. Пусть выполняется допущение 6, элементы матрицы .

Тогда матрица M имеет полный ранг.

Доказательство. Необходимое и достаточное условие линейной независимости векторов (существование полного ранга у M) – выполнение равенства

 (22)

для всех *.

Из (22) имеем две системы уравнений

, (23)

Количество уравнений в первой системе - , во второй - . Первую систему в развернутом виде можно представить как N систем уравнений

 (24)

Вторую систему уравнений в (23) в развернутом виде представим так:

, (25)

где ,  - k-я компонента вектора .

Обратимся к первому уравнению в (25), коэффициенты которого , , . Отсюда следует .

Рассуждая аналогично, получим из остальных уравнение в (25)

 (26)

Из этого соотношения и (24) получаем систему уравнений , где , . Согласно условию леммы, ее решение . Отсюда и из (26) следует . Лемма доказана.

Для определения оценок параметров регрессии с переключениями свернем два критерия в один.

Теорема 8. Если выполняются условия леммы 2,  , где  - выпуклое множество, то P - оценка параметров регрессии (19), соответствующая критериям (20), (21), является решением задачи

 (27)

Доказательство. Квадратичный член функции цели  имеет вид

Но M, согласно лемме 2, имеет полный ранг. Поэтому квадратичная форма  положительно определена и, следовательно, (27) имеет единственное решение. Отсюда следует утверждение теоремы:

Можно показать, что свойства критериев такие же, что и приведенные в разделе 1. Поэтому единственная компромиссная P-оценка параметров регрессии с переключениями, соответствующая значению r = r*, может быть найдена по правилам, описанным в этом разделе, т.е. , функции  определены в (18), . Здесь  [7, 14]

Описанный алгоритм оценивания реализован в пакете программ «ПРОГНОЗ».

Для нахождения коэффициентов регрессии и их среднеквадратических ошибок применяется пакет программ «ПРОГНОЗ».

Пакет программ «ПРОГНОЗ» предназначен для создания линейных по параметрам регрессионных моделей и моделей временных рядов с переменными или постоянными во времени параметрами. Полученные модели используются для многофакторного прогнозирования по уравнениям регрессии и однофакторного прогнозирования по модели временного ряда. Кроме того, пакет позволяет проводить предварительный анализ данных по выборке: оценивать математическое ожидание и дисперсию, взаимную корреляционную матрицу, проверять гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Пакет ориентирован на персональные компьютеры (ПК) типа IBM PC XT/AT и совместимые с ними. Информация для расчетов находится в базе данных, создаваемой с помощью СУБД типа dBase, foxbase, Карат и т.п. БД состоит из двух файлов. Первый файл содержит числовые данные о переменных: каждое поле – одна переменная. Второй файл содержит справочник русских названий полей, а также название единицы отсчета данных (месяц, год, и т.п.).

Пакет «Прогноз» может быть использован для решения различных задач моделирования и прогнозирования. К ним относятся:

1)                прогнозирование курса валют, акций, индексов цен различных товаров;

2)                многофакторный прогноз себестоимости продукции;

3)                определение норм расхода материалов и энергоносителей;

4)                прогнозирование качества продукции по некоторым факторам (например, определение механического свойства металлопродукции по ее химическому составу);

5)                анализ и прогнозирование инвестиционных процессов.

Регрессионная модель с переменными параметрами

Рассмотрим модель вида

, (4)

где t - номер наблюдений. В качестве регрессора zt используются линейные или нелинейные функции от исходных переменных xj , имеющихся в БД. Параметры в модели (4) могут меняться от наблюдения к наблюдению, либо быть постоянными на некоторых отрезках времени, задаваемых пользователем (регрессия с переключениями).

2.1. Параметры модели изменяются на каждом шаге. В этом случае используются два алгоритма. Первый алгоритм основан на постепенном забывании предыстории путем придания «старым» наблюдениям меньшего веса. Причем в течении некоторого периода времени веса всех наблюдений одинаковы, а от периода к периоду изменяются по показательному закону. Параметры регрессии в (4) оцениваются рекуррентно:

 , t = 1, 2, …

,

где ; ; ,

если t-е наблюдение – первое в  -ом периоде постоянства весов, сt = 1 в противном случае.

Второй алгоритм оценивания параметров регрессии в (4) основан на трактовке задачи оценивании как двухкритериальной. Первый критерий –

 ,

второй критерий –

.

Искомая последовательность векторов  находится в результате минимизации (2) где r определяется из условия, что первый критерий является главным.

Результаты решения: оценки параметров регрессии и среднеквадратические ошибки остатков выводятся в виде таблиц и графиков. Кроме того, вычисляются и выводятся сглаженные оценки указанных величин.

Сглаживание производится согласно соотношению

где  - сглаженная оценка. Параметр  задается пользователем.

Прогнозирование по одному временному ряду

Рассматривается модель с переменными параметрами

 (8)

где  - последовательность независимых случайных величин, l – неизвестно. Параметры в (8) находятся двумя способами. Первый состоит в рекуррентном оценивании:

,

, (9)

где ,  , Ol - l-мерный вектор. Величины  и l () выбираются такими, чтобы минимизировать ошибку прогноза на 1 шаг вперед на отрезке обучения [1, Т]:

,

где  находится по (9).

Другой способ определения параметров в (8) аналогичен определению параметров в (4) по второму алгоритму (см. р. 2.1). Отличие состоит в замене вектора zt в (5) на векторе Xt-1 [12].

Рисунок 5 – Общая схема построения регрессии в ПО «ПРОГНОЗ»

2.2.1 Анализ тенденции цен акций полиномиальный тренд второго порядка

В интерфейсе программы выбираем базу данных с которой будем работать, вид прогноза - Многофакторный, Регрессия с переключениями, зависимые переменные – Цена, независимые - Время, Время 2. Выбираем временной промежуток – 100, число отрезков 5. Учитываем свободный коэффициент.

В результате вычислений имеем следующую таблицу:

Таблица – 1 Коэффициенты регрессии полином 2-го порядка

Таблица 2 – Ошибки

На основании вышеприведенных данных строим полином (Рисунок 6).

Pt =  

В результате получим сглаженный тренд (полином) цен акций для 100 точек (Рисунок ). Откладываем от него верхний и нижний доверительный интервал:

U// = Pt + t s2;

D// = Pt - t s2,

где t – квантиль. t = 2

s2 – среднеквадратическая ошибка моделирования

Как видно из рисунка доверительные интервалы, построенные с помощью Регрессии с переключениями уже Полос Боллинджер.

Расчетные таблицы приведены в Приложении 4.

Рисунок 6 - Полином второго порядка

2.2.1 Анализ тенденции цен акций полиномиальный тренд первого порядка

Построим линейный тренд методом регрессии с переключениями.

Pt =  

В результате получим сглаженный тренд (полином) цен акций для 100 точек (Рисунок ). Откладываем от него верхний и нижний доверительный интервал:

U/ = Pt + t s2;

D/ = Pt - t s2,

где t – квантиль. t = 2

s2 – среднеквадратическая ошибка моделирования

Таблица 3 – Коэффициенты регрессии полином 1-го порядка

Таблица 4 – Ошибки линейного тренда

График полинома 1 порядка представлен ниже (Рисунок 7)

Рисунок 7 - Полином первого порядка

Расчетные таблицы приведены в Приложении 5.

Сравним среднеквадратические ошибки моделирования по каждому методу:

Таблица 5 - Среднеквадратические ошибки моделирования

Более адекватной является та модель, которая имеет наименьшую среднеквадратическую ошибку. В данном случае это регрессия с переключениями полином 2-го порядка S2 = 12,5074.

3. Информационная система «Расчет индикаторов изменчивости»

3.1 Общие сведения об информационных системах

Классификация информационных систем

Структуру информационной системы составляет совокупность отдельных ее частей, называемых подсистемами.

Подсистема - это часть системы, выделенная по какому-нибудь признаку.

Классификация по характеру использования информации

Информационно-поисковые системы делают введения, систематизацию, сохранение, выдачу информации из запроса пользователя без сложных преобразований данных.

Информационно - решающие системы осуществляют все операции переработки информации с определенного алгоритма. Среди них можно провести классификацию по степени влияния выработанной результатной информации на процесс принятия решений и выделить два класса: управляющие и что советуют.

Управляющие ИС вырабатывают информацию, на основании которой человек принимает решение. Для этих систем характерный тип задач расчетного характера и обработка больших объемов данных. Примером могут служить система оперативного планирования выпуска продукции, система бухгалтерского учета.

Эти системы имеют более высокую степень интеллекта, так как для них характерная обработка знаний, а не данных.

Классификация по сфере применения

Информационные системы организационного управления предназначенные для автоматизации функций управленческого персонала. Учитывая наиболее широкое применение и разнообразие этого класса систем, часто любые информационные системы понимают именно в данном толковании. К этому классу относятся информационные системы управления как промышленными фирмами, так и непромышленными объектами: отелями, банками, торговыми фирмами и др.

Основными функциями подобных систем есть: оперативный контроль и регулирование, оперативный учет и анализ, перспективное и оперативное планирования, бухгалтерский учет, управление сбытом и снабжением и другие экономические и организационные задачи.

Интегрированные (корпоративные) ИС используются для автоматизации всех функций фирмы и охватывают весь цикл работ от проектирования к сбыту продукции. Создание таких систем очень тяжело, поскольку требует системного подхода из позиций главной цели, например получения прибыли, завоевание рынка сбыта и т.д. Такой подход может привести к важным изменениям в самой структуре фирмы, на что может решиться не каждый управляющий.

Информационные системы, которые разрабатывают альтернативы решений, могут быть модельными и экспертными.

Модельные информационные системы предоставляют пользователю математические, статические, финансовые и другие модели, использование которых облегчает изготовление и оценку альтернатив решение. Пользователь может получить отсутствующую нему для принятия решения информацию путем установления диалога с моделью в процессе ее исследования.

Основными функциями модельной информационной системы есть:

возможность работы в среде типичных математических моделей, включая решения основных задач моделирования типа "как сделать, чтобы ?", "что будет, если ?", анализ чувствительности и др.;

· довольно быстрая и адекватная интерпретация результатов моделирование;

· оперативная подготовка и корректирование входных параметров и ограничений модели;

· возможность графического отображения динамики модели;

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18